Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas, \forall n \in \mathbb{N}^{*} :
P(n): 1+3+5+\cdots+(2 n-1)=n^{2}

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando o princípio de indução, que para todo n\in\mathbb{N}^* vale
1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2.
O conteúdo envolvido é soma de termos ímpares (uma progressão aritmética de razão 2) e aplicação do método de indução matemática, que consiste em mostrar um caso base e depois o passo indutivo.

Passo 2

Verificamos o caso base n=1. À esquerda temos apenas o primeiro termo da soma:
1 = 1,
e à direita n^2 = 1^2 = 1.
Portanto, a identidade é verdadeira para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k\ge1 valha
1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1) = k^2.

Passo 4

Passo indutivo: precisamos mostrar que a partir da hipótese acima decorre
1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1) + \bigl(2(k+1)-1\bigr) = (k+1)^2.
Usando a hipótese de indução no somatório até (2k-1), obtemos
k^2 + \bigl(2(k+1)-1\bigr) = k^2 + \bigl(2k+2-1\bigr) = k^2 + (2k+1).
Agora, somamos os termos em k^2 + 2k + 1:
k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2.
Logo, a identidade se mantém ao passar de k para k+1.

Passo 5

Concluímos que, tendo verificado o caso base e mostrado o passo indutivo, pelo princípio de indução a fórmula
1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2
é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}^*.

Resposta

A igualdade está provada por indução, valendo para todo n\in\mathbb{N}^*.

Exercícios relacionados