Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas,
:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando o princípio de indução, que para todo
vale
O conteúdo envolvido é soma de termos ímpares (uma progressão aritmética de razão 2) e aplicação do método de indução matemática, que consiste em mostrar um caso base e depois o passo indutivo.
Passo 2
Verificamos o caso base
. À esquerda temos apenas o primeiro termo da soma:
e à direita
.
Portanto, a identidade é verdadeira para .
Portanto, a identidade é verdadeira para
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
valha
Passo 4
Passo indutivo: precisamos mostrar que a partir da hipótese acima decorre
Usando a hipótese de indução no somatório até
, obtemos
Agora, somamos os termos em
:
Logo, a identidade se mantém ao passar de
para
.
Passo 5
Concluímos que, tendo verificado o caso base e mostrado o passo indutivo, pelo princípio de indução a fórmula
é verdadeira para todo
.
Resposta
A igualdade está provada por indução, valendo para todo
.