Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas,
:
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, a fórmula da soma dos
primeiros termos da progressão geométrica de razão 2:
Vamos usar o princípio da indução matemática, que requer verificar o caso base e depois o passo indutivo.
Passo 2
(Caso base) Para
, a soma tem um único termo:
Logo, a fórmula vale para
.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que a fórmula seja verdadeira para algum
, isto é, suponha
Passo 4
(Passo indutivo) Devemos mostrar que a fórmula vale para
. Começamos escrevendo a soma até
:
Pela hipótese de indução, a parte até
é
. Assim,
Isso mostra que, se a fórmula vale para
, então ela vale para
.
Passo 5
Pelo princípio da indução matemática, a identidade
é verdadeira para todo
.
Resposta
A identidade foi provada por indução e vale para todo
.