Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas, \forall n \in \mathbb{N}^{*} :
P(n): 1+2+4+\cdots+2^{n-1}=2^{n}-1

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n\in\mathbb{N}^*, a fórmula da soma dos n primeiros termos da progressão geométrica de razão 2:
1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 1.
Vamos usar o princípio da indução matemática, que requer verificar o caso base e depois o passo indutivo.

Passo 2

(Caso base) Para n=1, a soma tem um único termo:
1 = 2^1 - 1 = 2 - 1 = 1.
Logo, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que a fórmula seja verdadeira para algum k\ge1, isto é, suponha
1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{k-1} = 2^k - 1.

Passo 4

(Passo indutivo) Devemos mostrar que a fórmula vale para n=k+1. Começamos escrevendo a soma até 2^k:
1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{k-1} + 2^k.
Pela hipótese de indução, a parte até 2^{k-1} é 2^k - 1. Assim,
1 + 2 + \cdots + 2^{k-1} + 2^k = (2^k - 1) + 2^k = 2^k + 2^k - 1 = 2\cdot2^k - 1 = 2^{k+1} - 1.
Isso mostra que, se a fórmula vale para n=k, então ela vale para n=k+1.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, a identidade
1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 1
é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}^*.

Resposta

A identidade foi provada por indução e vale para todo n\in\mathbb{N}^*.

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