Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas, \forall n \in \mathbb{N}^{*} :
P(n): 1+5+9+\cdots+(4 n-3)=2 n^{2}-n

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando o princípio de indução, que para todo n\in\mathbb{N}^* vale
P(n):\;1+5+9+\cdots+(4n-3)=2n^2-n.
O conteúdo é o método de indução matemática aplicado à soma dos n primeiros termos da progressão aritmética de razão 4 e primeiro termo 1.

Passo 2

Base de indução n=1:
\sum_{i=1}^{1}(4i-3)=4\cdot1-3=1
e
2\cdot1^2-1=2-1=1.
Como ambos dão 1, a proposição P(1) é verdadeira.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que P(k) seja verdadeira para algum k\ge1, isto é,
\sum_{i=1}^{k}(4i-3)=2k^2-k.
Precisamos mostrar que isso implica P(k+1). Observe:
\sum_{i=1}^{k+1}(4i-3) =\sum_{i=1}^{k}(4i-3)+(4(k+1)-3).
Pela hipótese indutiva,
\sum_{i=1}^{k+1}(4i-3) =(2k^2-k)+(4k+4-3) =2k^2-k+4k+1 =2k^2+3k+1.
Por outro lado,
2(k+1)^2-(k+1) =2(k^2+2k+1)-k-1 =2k^2+4k+2-k-1 =2k^2+3k+1.
Logo
\sum_{i=1}^{k+1}(4i-3)=2(k+1)^2-(k+1),
ou seja, P(k)\implies P(k+1).

Resposta

Pelo princípio da indução, a identidade
1+5+9+\cdots+(4n-3)=2n^2-n
é válida para todo n\in\mathbb{N}^*.

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