Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas,
:
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução que, para todo
,
Vamos usar o princípio de indução: verificar o caso base e depois mostrar que, se vale para
, então vale para
.
Passo 2
Caso base
: o lado esquerdo é
e o lado direito é
Logo,
é verdadeira.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que, para algum
, valha
Passo 4
Passo indutivo: devemos mostrar que
Pela hipótese de indução, a soma até
é
, e o novo termo é
Somando,
Como
, segue
o que prova
.
Resposta
Por indução, fica demonstrado que, para todo
,