Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas, \forall n \in \mathbb{N}^{*} :
P(n): 1+4+7+\cdots+(3 n-2)=\frac{k(3 k-1)}{2}

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução que, para todo n\in\mathbb{N}^*,
1 + 4 + 7 + \cdots + (3n - 2) \;=\;\frac{n(3n - 1)}{2}.
Vamos usar o princípio de indução: verificar o caso base e depois mostrar que, se vale para n=k, então vale para n=k+1.

Passo 2

Caso base n=1: o lado esquerdo é 1 e o lado direito é
\frac{1\cdot(3\cdot1 - 1)}{2} \;=\;\frac{1\cdot2}{2}=1.
Logo, P(1) é verdadeira.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para algum k\ge1, valha
1 + 4 + 7 + \cdots + (3k - 2) \;=\;\frac{k(3k - 1)}{2}.

Passo 4

Passo indutivo: devemos mostrar que
1 + 4 + 7 + \cdots + (3k - 2) + \bigl(3(k+1)-2\bigr) \;=\;\frac{(k+1)\bigl(3(k+1)-1\bigr)}{2}.
Pela hipótese de indução, a soma até (3k-2) é \tfrac{k(3k-1)}2, e o novo termo é
3(k+1)-2 = 3k+1.
Somando,
\frac{k(3k-1)}{2} + (3k+1) =\frac{k(3k-1)+2(3k+1)}{2} =\frac{3k^2 - k +6k +2}{2} =\frac{3k^2+5k+2}{2}.
Como 3k^2+5k+2=(k+1)(3k+2), segue
\frac{3k^2+5k+2}{2} =\frac{(k+1)(3k+2)}{2} =\frac{(k+1)\bigl(3(k+1)-1\bigr)}{2},
o que prova P(k+1).

Resposta

Por indução, fica demonstrado que, para todo n\in\mathbb{N}^*,
1 + 4 + 7 + \cdots + (3n - 2) =\frac{n(3n - 1)}{2}.

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