Prove que:
\vec{A} \cdot(\vec{A} \times \vec{C})=0

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{C})=0.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
\vec{A} e \vec{C} são vetores (tipicamente em \mathbb{R}^3). Queremos mostrar que o produto escalar entre \vec{A} e o produto vetorial \vec{A}\times\vec{C} vale zero. Não há outras condições explícitas; ou seja, a igualdade deve valer para quaisquer vetores \vec{A} e \vec{C}.

Passo 2

Vamos lembrar o que é o produto escalar (dot product). Dados dois vetores
\vec{X}=(X_x,X_y,X_z) e \vec{Y}=(Y_x,Y_y,Y_z), o produto escalar é
\vec{X}\cdot\vec{Y}=X_xY_x+X_yY_y+X_zY_z.
Intuição: o produto escalar mede “quanto” um vetor projeta sobre o outro; quando dois vetores são ortogonais (perpendiculares), seu produto escalar é zero.

Passo 3

Agora o produto vetorial (cross product). Dados \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{C}=(C_x,C_y,C_z), o produto vetorial \vec{A}\times\vec{C} tem componentes (fórmula padrão):
\vec{A}\times\vec{C}=\begin{pmatrix} A_yC_z-A_zC_y\\[4pt] A_zC_x-A_xC_z\\[4pt] A_xC_y-A_yC_x \end{pmatrix}.
Duas propriedades importantes (que vamos usar / explicar):
  1. O vetor \vec{A}\times\vec{C} é perpendicular a \vec{A} e a \vec{C}. Geometricamente, o produto vetorial é construído justamente para ser ortogonal aos dois vetores envolvidos.
  2. Em termos algébricos, a componente acima é a definição que garante essa ortogonalidade (veremos isso no cálculo).]

Passo 4

Raciocínio geométrico curto (intuição): como \vec{A}\times\vec{C} é perpendicular a \vec{A}, o produto escalar entre \vec{A} e \vec{A}\times\vec{C} deve ser zero. Essa é a explicação rápida e suficiente se você aceita a propriedade geométrica do produto vetorial. Agora vamos provar isso por cálculo, passo a passo, para não depender só da intuição.

Passo 5

Faça as contas por componentes. Começamos escrevendo \vec{A} e \vec{A}\times\vec{C}:
\vec{A}=(A_x,A_y,A_z), \qquad \vec{A}\times\vec{C}=\begin{pmatrix} A_yC_z-A_zC_y\\[4pt] A_zC_x-A_xC_z\\[4pt] A_xC_y-A_yC_x \end{pmatrix}.
Agora calculamos o produto escalar \vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{C}) usando a definição do passo 2:
\vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{C}) = A_x\,(A_yC_z-A_zC_y) + A_y\,(A_zC_x-A_xC_z) + A_z\,(A_xC_y-A_yC_x).]

Passo 6

Expandimos os termos cuidadosamente:
\begin{aligned} \vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{C}) &= A_xA_yC_z - A_xA_zC_y + A_yA_zC_x - A_yA_xC_z + A_zA_xC_y - A_zA_yC_x. \end{aligned}
Agora agrupamos termos semelhantes para ver os cancelamentos. Observe os pares:
  • A_xA_yC_z e -A_yA_xC_z são o mesmo em módulo e sinais opostos, porque A_xA_yC_z = A_yA_xC_z. Logo esses dois se cancelam.
  • -A_xA_zC_y e A_zA_xC_y também se cancelam, pois -A_xA_zC_y = -A_zA_xC_y e A_zA_xC_y tem sinal oposto.
  • A_yA_zC_x e -A_zA_yC_x também se cancelam pelo mesmo motivo.
Após os três cancelamentos, sobra zero.

Passo 7

Concluímos, pelo cálculo componente a componente, que
\vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{C})=0.
Esse cálculo é uma prova algébrica completa, que não depende de aceitar como dado que o produto vetorial é perpendicular aos vetores — embora essa propriedade também seja uma maneira mais rápida de ver o resultado.

Passo 8

Outra visão alternativa (curta e útil na prova): interpretar \vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{C}) como o produto escalar de um vetor com um vetorial que é ortogonal a ele, ou ver como um produto escalar triplo (determinante) com duas linhas/colunas iguais. O produto escalar triplo
\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})
é igual ao determinante formado pelas componentes de \vec{A},\vec{B},\vec{C}. Se \vec{B}=\vec{A}, o determinante tem duas linhas iguais e, portanto, vale zero. Isso também dá a mesma conclusão.

Resposta

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