Informações dadas (implícitas no enunciado): \vec{A} e \vec{C} são vetores (tipicamente em \mathbb{R}^3). Queremos mostrar que o produto escalar entre \vec{A} e o produto vetorial \vec{A}\times\vec{C} vale zero. Não há outras condições explícitas; ou seja, a igualdade deve valer para quaisquer vetores \vec{A} e \vec{C}.
Passo 2
Vamos lembrar o que é o produto escalar (dot product). Dados dois vetores \vec{X}=(X_x,X_y,X_z) e \vec{Y}=(Y_x,Y_y,Y_z), o produto escalar é
\vec{X}\cdot\vec{Y}=X_xY_x+X_yY_y+X_zY_z.
Intuição: o produto escalar mede “quanto” um vetor projeta sobre o outro; quando dois vetores são ortogonais (perpendiculares), seu produto escalar é zero.
Passo 3
Agora o produto vetorial (cross product). Dados \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{C}=(C_x,C_y,C_z), o produto vetorial \vec{A}\times\vec{C} tem componentes (fórmula padrão):
Duas propriedades importantes (que vamos usar / explicar):
O vetor \vec{A}\times\vec{C} é perpendicular a \vec{A} e a \vec{C}. Geometricamente, o produto vetorial é construído justamente para ser ortogonal aos dois vetores envolvidos.
Em termos algébricos, a componente acima é a definição que garante essa ortogonalidade (veremos isso no cálculo).]
Passo 4
Raciocínio geométrico curto (intuição): como \vec{A}\times\vec{C} é perpendicular a \vec{A}, o produto escalar entre \vec{A} e \vec{A}\times\vec{C} deve ser zero. Essa é a explicação rápida e suficiente se você aceita a propriedade geométrica do produto vetorial. Agora vamos provar isso por cálculo, passo a passo, para não depender só da intuição.
Passo 5
Faça as contas por componentes. Começamos escrevendo \vec{A} e \vec{A}\times\vec{C}:
Agora agrupamos termos semelhantes para ver os cancelamentos. Observe os pares:
A_xA_yC_z e -A_yA_xC_z são o mesmo em módulo e sinais opostos, porque A_xA_yC_z = A_yA_xC_z. Logo esses dois se cancelam.
-A_xA_zC_y e A_zA_xC_y também se cancelam, pois -A_xA_zC_y = -A_zA_xC_y e A_zA_xC_y tem sinal oposto.
A_yA_zC_x e -A_zA_yC_x também se cancelam pelo mesmo motivo.
Após os três cancelamentos, sobra zero.
Passo 7
Concluímos, pelo cálculo componente a componente, que
\vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{C})=0.
Esse cálculo é uma prova algébrica completa, que não depende de aceitar como dado que o produto vetorial é perpendicular aos vetores — embora essa propriedade também seja uma maneira mais rápida de ver o resultado.
Passo 8
Outra visão alternativa (curta e útil na prova): interpretar \vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{C}) como o produto escalar de um vetor com um vetorial que é ortogonal a ele, ou ver como um produto escalar triplo (determinante) com duas linhas/colunas iguais. O produto escalar triplo
\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})
é igual ao determinante formado pelas componentes de \vec{A},\vec{B},\vec{C}. Se \vec{B}=\vec{A}, o determinante tem duas linhas iguais e, portanto, vale zero. Isso também dá a mesma conclusão.