Prove que
é grupo abeliano.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é um exercício pedindo para provar que o conjunto
forma um grupo abeliano. Basicamente, vamos trabalhar com a teoria de grupos da matemática, e para isso, precisamos verificar se todos os requisitos para ser um grupo abeliano estão presentes nesse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse conjunto representa os restos da divisão dos números inteiros por
. Ou seja,
. A operação que estamos considerando aqui é a adição módulo
, simbolizada por
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação que satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos. Para ser um grupo abeliano, além disso, a operação também precisa ser comutativa.
Passo 4
Fechamento: Precisamos ver se, ao somar dois elementos de
, o resultado também pertence a
. Seja
. Então,
também estará em
, pois estamos sempre pegando o resto da divisão por
, que está no intervalo de
a
.
Associatividade: A adição inteira é associativa, ou seja,
. Quando aplicamos o módulo
, essa propriedade ainda se mantém, porque estamos apenas ajustando o resultado para ficar dentro do conjunto
.
Elemento neutro: O elemento neutro para a adição é
, já que
para qualquer
.
Inversos: Para cada elemento
, existe um inverso
tal que
. Esse inverso é
(ou
se
).
Passo 5
Comutatividade: Finalmente, precisamos ver se a operação é comutativa, ou seja,
para todos
. Como a adição inteira é comutativa, essa propriedade também vale quando aplicamos o módulo
.
Resposta
Concluímos que
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um grupo abeliano. Portanto,
é de fato um grupo abeliano.