Sejam
. Assuma que
e
. Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo
com elementos
e
. Sabemos que a ordem de
é
, ou seja,
(onde
é o elemento neutro do grupo). Além disso, temos que
. Nosso objetivo é mostrar que
, ou seja, que
e
comutam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que
multiplicado por ele mesmo cinco vezes dá o elemento neutro:
. E, mais importante, nenhum número menor que 5 satisfaz isso, então a ordem de
é exatamente 5.
Passo 3
Agora, vamos trabalhar com a equação que foi dada:
. Queremos manipular essa equação para chegar em
. Para isso, vamos tentar “isolar”
de jeito que possamos ver a relação direta entre
e
.
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação
pela inversa de
, que é
(porque
). Então temos:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Então a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
(que é
, já que
e
):
Simplificando:
Mas como já sabemos que
, isso não nos dá nova informação. Então, vamos tentar outra abordagem.
Passo 6
Vamos considerar que queremos mostrar que
. Para isso, vamos usar a propriedade que
e manipular a equação original.
Sabemos que
. Vamos multiplicar ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, queremos chegar em
. Vamos multiplicar ambos os lados da última equação por
:
Mas sabemos que
, então podemos substituir:
Como
, então
. Portanto:
Resposta
Concluímos que
, ou seja,
e
comutam no grupo
.