(a) ( 0,5 pt Calcule o rotacional de F e o elemento de área orientado dS = n dS (em coordenadas cartesianas).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o rotacional de um campo vetorial e o elemento de área orientado usando coordenadas cartesianas. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional, que nos ajuda a entender a “rotação” de um campo vetorial, e o elemento de área orientado, que é fundamental para integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o rotacional. O rotacional de um campo vetorial é um novo campo vetorial que mede a tendência de de girar em torno de cada ponto no espaço. Em coordenadas cartesianas, o rotacional ( ) é calculado usando a seguinte fórmula:

Passo 3

Agora, vamos entender o elemento de área orientado . Esse elemento é usado em integrais de superfície e representa uma pequena área na superfície com uma orientação específica dada pelo vetor normal . Em coordenadas cartesianas, se estamos trabalhando com uma superfície , o elemento de área orientado pode ser escrito como:
Onde:
  • é o vetor unitário normal à superfície.
  • é a área infinitesimal da superfície.

Resposta

Portanto, em coordenadas cartesianas, o rotacional de é dado por:
E o elemento de área orientado é:

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