(3 pts.) Para cada uma das seguintes funções determine o domínio, verifique se a função é invertível e, se for, determine a inversa:
f(x)=\sqrt{x-7}, considere o contradomínio como [0,+\infty).

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=\sqrt{x-7} e informa que o contradomínio (co-domínio) é [0,+\infty). O que é pedido:
  • Determinar o domínio de f.
  • Verificar se f é invertível.
  • Se for invertível, determinar a inversa f^{-1}.

Passo 2

O que significa “domínio”: é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define f(x) faz sentido (aqui, no conjunto dos números reais). Para a raiz quadrada real é obrigatório que o conteúdo da raiz seja não negativo. Portanto impomos a condição
x-7\ge 0.
Resolvendo essa desigualdade:
x-7\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge 7.
Logo o domínio é o conjunto de todos os x maiores ou iguais a 7, isto é [7,+\infty).

Passo 3

Agora vamos entender a imagem (conjunto de valores que realmente são atingidos) e o papel do contradomínio dado [0,+\infty). Para qualquer x do domínio [7,+\infty) temos x-7\ge0, então \sqrt{x-7} é um número real não negativo. Assim todos os valores de saída são \ge 0. Em outras palavras a imagem de f está contida em [0,+\infty).
Para ver que a imagem é exatamente [0,+\infty) (ou seja, que f é sobrejetora no contradomínio dado), tome um y\in[0,+\infty). Se escolhermos
x=y^2+7,
então x\ge7 (porque y^2\ge0), ou seja x está no domínio, e
f(x)=\sqrt{(y^2+7)-7}=\sqrt{y^2}=y,
já que y\ge0 (a raiz quadrada principal é não negativa). Assim, para todo y\in[0,+\infty) existe um x no domínio com f(x)=y. Concluímos que a imagem de f é exatamente [0,+\infty), igual ao contradomínio dado — portanto f é sobrejetora.

Passo 4

Verificação da injetividade (função que não dá a mesma saída para entradas diferentes). Uma maneira direta: suponha que para x_1,x_2\in[7,+\infty) valha
f(x_1)=f(x_2).
Então
\sqrt{x_1-7}=\sqrt{x_2-7}.
Os dois lados são números não negativos, portanto ao elevar ao quadrado obtemos
x_1-7=x_2-7.
Assim x_1=x_2. Isso mostra que f é injetora. (Intuição: a função raiz quadrada principal é estritamente crescente em seu domínio, então não pode assumir o mesmo valor em dois pontos distintos.)

Passo 5

Como f é injetora e sobrejetora (com o contradomínio dado), ela é bijetora, ou seja, é invertível. Para encontrar a inversa, procedemos isolando x na equação y=f(x). Escreva
y=\sqrt{x-7},
com y\ge0. Elevando ambos os lados ao quadrado:
y^2=x-7.
Portanto
x=y^2+7.
Isso define a função inversa: para um argumento y (que pertence ao domínio da inversa, isto é [0,+\infty)) temos
f^{-1}(y)=y^2+7.
É costume reescrever a variável da inversa por x; assim uma forma usual é
f^{-1}(x)=x^2+7,\qquad \text{com domínio }[0,+\infty).í

Passo 6

Verificação rápida por composição: para x\in[0,+\infty),
f(f^{-1}(x))=\sqrt{(x^2+7)-7}=\sqrt{x^2}=x,
já que x\ge0. E para x\in[7,+\infty),
f^{-1}(f(x))=(\sqrt{x-7})^2+7=x-7+7=x.
As duas composições dão a identidade nos respectivos domínios, o que confirma que a função encontrada é de fato a inversa.

Passo 7

Resumo prático para a prova (dica amiga): quando tiver \sqrt{\cdot}, sempre exigir conteúdo \ge0 para o domínio; para a inversa lembre-se que a raiz principal é não negativa, então ao isolar a variável é seguro elevar ao quadrado porque o lado da raiz já é \ge0. Para checar inversibilidade mostre injetividade (por exemplo, igualando valores e quadrando) e sobrejetividade mostrando que todo elemento do contradomínio é atingido por uma escolha explicita de x.

Resposta

Domínio: [7,+\infty)
Invertível: Sim (bijetora entre [7,+\infty) e [0,+\infty))
Inversa: f^{-1}(x)=x^{2}+7, com domínio [0,+\infty)

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