(3 pts.) Para cada uma das seguintes funções determine o domínio, verifique se a função é invertível e, se for, determine a inversa:
, considere o contradomínio como
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e informa que o contradomínio (co-domínio) é
. O que é pedido:
- Determinar o domínio de
. - Verificar se
é invertível. - Se for invertível, determinar a inversa
.
Passo 2
O que significa “domínio”: é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão que define
faz sentido (aqui, no conjunto dos números reais). Para a raiz quadrada real é obrigatório que o conteúdo da raiz seja não negativo. Portanto impomos a condição
Resolvendo essa desigualdade:
Logo o domínio é o conjunto de todos os
maiores ou iguais a
, isto é
.
Passo 3
Agora vamos entender a imagem (conjunto de valores que realmente são atingidos) e o papel do contradomínio dado
. Para qualquer
do domínio
temos
, então
é um número real não negativo. Assim todos os valores de saída são
. Em outras palavras a imagem de
está contida em
.
Para ver que a imagem é exatamente
(ou seja, que
é sobrejetora no contradomínio dado), tome um
. Se escolhermos
então
(porque
), ou seja
está no domínio, e
já que
(a raiz quadrada principal é não negativa). Assim, para todo
existe um
no domínio com
. Concluímos que a imagem de
é exatamente
, igual ao contradomínio dado — portanto
é sobrejetora.
Passo 4
Verificação da injetividade (função que não dá a mesma saída para entradas diferentes). Uma maneira direta: suponha que para
valha
Então
Os dois lados são números não negativos, portanto ao elevar ao quadrado obtemos
Assim
. Isso mostra que
é injetora. (Intuição: a função raiz quadrada principal é estritamente crescente em seu domínio, então não pode assumir o mesmo valor em dois pontos distintos.)
Passo 5
Como
é injetora e sobrejetora (com o contradomínio dado), ela é bijetora, ou seja, é invertível. Para encontrar a inversa, procedemos isolando
na equação
. Escreva
com
. Elevando ambos os lados ao quadrado:
Portanto
Isso define a função inversa: para um argumento
(que pertence ao domínio da inversa, isto é
) temos
É costume reescrever a variável da inversa por
; assim uma forma usual é
Passo 6
Verificação rápida por composição: para
,
já que
. E para
,
As duas composições dão a identidade nos respectivos domínios, o que confirma que a função encontrada é de fato a inversa.
Passo 7
Resumo prático para a prova (dica amiga): quando tiver
, sempre exigir conteúdo
para o domínio; para a inversa lembre-se que a raiz principal é não negativa, então ao isolar a variável é seguro elevar ao quadrado porque o lado da raiz já é
. Para checar inversibilidade mostre injetividade (por exemplo, igualando valores e quadrando) e sobrejetividade mostrando que todo elemento do contradomínio é atingido por uma escolha explicita de
.
Resposta
Domínio:
Invertível: Sim (bijetora entre e
)
Inversa: , com domínio
Invertível: Sim (bijetora entre
Inversa: