(3 pts.) Para cada uma das seguintes funções determine o domínio, verifique se a função é invertível e, se for, determine a inversa:
;
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
- Função dada:
. - Domínio informado:
. - Contradomínio (imagem alvo) informado:
. - Perguntas a responder:
- Determinar o domínio (confirmar/explicitar).
- Verificar se
é invertível (ou seja, se é bijetiva: injetiva e sobrejetiva). - Se for invertível, determinar a função inversa
.
Passo 2
Entendendo o valor absoluto e simplificando a expressão na região do domínio.
Lembre que se
e
se
. Aqui
. Pelo domínio temos
. Então:
Lembre que
Portanto, para todo
do domínio vale
Ou seja, sobre o domínio dado a função é simplesmente a função afim (linear)
.
Passo 3
Confirmando o domínio pedido.
A expressão original está definida para todo
, mas o enunciado já fixou o domínio como
. Então o domínio da função do enunciado é
A expressão original
(Nesta etapa apenas confirmamos e explicamos que sobre esse domínio a expressão vale
.)
Passo 4
Estudo da injetividade (uma-para-um).
Uma maneira simples de mostrar que uma função é injetiva é provar que ela é estritamente monotônica (se é estritamente crescente ou decrescente então não pode assumir o mesmo valor em dois pontos diferentes).
Uma maneira simples de mostrar que uma função é injetiva é provar que ela é estritamente monotônica (se é estritamente crescente ou decrescente então não pode assumir o mesmo valor em dois pontos diferentes).
Aqui, a forma explícita é
. Para ver que é estritamente decrescente, tome
com
. Então
logo
. Portanto
é estritamente decrescente no domínio dado, o que implica que
é injetiva.
(Explicando de forma verbal: como o coeficiente de
é
, quando
aumenta
diminui sempre, então dois
distintos não podem produzir o mesmo valor.)
Passo 5
Estudo da sobrejetividade (foto igual ao contradomínio).
Precisamos verificar se, para todo , existe
com
.
Precisamos verificar se, para todo
Primeiro observe a imagem (conjunto de valores efetivamente atingidos) de
no domínio: usando
,
- quando
tem-se ; - quando
tem-se (tende a zero, mas nunca atinge zero porque não pertence ao domínio).
Portanto a imagem de
é o intervalo
.
Aqui é importante notar a convenção sobre
. Se adotarmos a convenção habitual em muitos livros de que
(somente os reais positivos, excluindo o zero), então a imagem coincide com
e a função é sobrejetiva. Se, por outro lado, o autor usa
(incluindo o zero), então
não é atingido por
e a função NÃO seria sobrejetiva. Normalmente em exercícios universitários
é
; vou continuar com essa convenção.
Com a convenção
,
é sobrejetiva.
Passo 6
Concluindo sobre invertibilidade.
Juntando Passo 4 (injetiva) e Passo 5 (sobrejetiva para ), temos que
é bijetiva, logo invertível, se
. Se
então
não é sobrejetiva e portanto não é invertível.
Juntando Passo 4 (injetiva) e Passo 5 (sobrejetiva para
Passo 7
Encontrando explicitamente a inversa (assumindo
).
Para achar resolvemos
para
em termos de
. Assim:
Para achar
Portanto a função inversa é
com domínio de
igual à imagem de
, isto é
, e contradomínio
.
Passo 8
Verificação rápida da inversa (checagem de consistência).
- Compondo
com :
- Compondo na outra ordem:
As duas composições dão a identidade nos domínios apropriados, confirmando que
está correta.
Resposta
Domínio:
Invertível: Sim, se (é bijetiva); se
então não é sobrejetiva e não é invertível.
Inversa (quando invertível): ,
.
Invertível: Sim, se
Inversa (quando invertível):