(3 pts.) Para cada uma das seguintes funções determine o domínio, verifique se a função é invertível e, se for, determine a inversa:
f:\left(-\infty, \frac{1}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}^{+} ; f(x)=|2 x-1|;

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
  • Função dada: f(x)=|2x-1|.
  • Domínio informado: \left(-\infty,\tfrac{1}{2}\right).
  • Contradomínio (imagem alvo) informado: \mathbb{R}^{+}.
  • Perguntas a responder:
    1. Determinar o domínio (confirmar/explicitar).
    2. Verificar se f é invertível (ou seja, se é bijetiva: injetiva e sobrejetiva).
    3. Se for invertível, determinar a função inversa f^{-1}.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto e simplificando a expressão na região do domínio.
Lembre que |u|=u se u\ge 0 e |u|=-u se u<0. Aqui u=2x-1. Pelo domínio temos x<\tfrac{1}{2}. Então:
\text{se } x<\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad 2x-1<0.
Portanto, para todo x do domínio vale
f(x)=|2x-1|=-(2x-1)=1-2x.
Ou seja, sobre o domínio dado a função é simplesmente a função afim (linear) \,f(x)=1-2x.

Passo 3

Confirmando o domínio pedido.
A expressão original |2x-1| está definida para todo x\in\mathbb{R}, mas o enunciado já fixou o domínio como \left(-\infty,\tfrac{1}{2}\right). Então o domínio da função do enunciado é
\left(-\infty,\tfrac{1}{2}\right).
(Nesta etapa apenas confirmamos e explicamos que sobre esse domínio a expressão vale 1-2x.)

Passo 4

Estudo da injetividade (uma-para-um).
Uma maneira simples de mostrar que uma função é injetiva é provar que ela é estritamente monotônica (se é estritamente crescente ou decrescente então não pode assumir o mesmo valor em dois pontos diferentes).
Aqui, a forma explícita é \,f(x)=1-2x. Para ver que é estritamente decrescente, tome x_1,x_2\in\left(-\infty,\tfrac{1}{2}\right) com x_1<x_2. Então
f(x_1)-f(x_2)=(1-2x_1)-(1-2x_2)=2(x_2-x_1)>0,
logo f(x_1)>f(x_2). Portanto f é estritamente decrescente no domínio dado, o que implica que f é injetiva.
(Explicando de forma verbal: como o coeficiente de x é -2, quando x aumenta f(x) diminui sempre, então dois x distintos não podem produzir o mesmo valor.)

Passo 5

Estudo da sobrejetividade (foto igual ao contradomínio).
Precisamos verificar se, para todo y\in\mathbb{R}^{+}, existe x\in\left(-\infty,\tfrac{1}{2}\right) com f(x)=y.
Primeiro observe a imagem (conjunto de valores efetivamente atingidos) de f no domínio: usando f(x)=1-2x,
  • quando x\to -\infty tem-se f(x)=1-2x\to +\infty;
  • quando x\to \tfrac{1}{2}^{-} tem-se f(x)=1-2x\to 0^{+} (tende a zero, mas nunca atinge zero porque x=\tfrac{1}{2} não pertence ao domínio).
Portanto a imagem de f é o intervalo (0,\infty).
Aqui é importante notar a convenção sobre \mathbb{R}^{+}. Se adotarmos a convenção habitual em muitos livros de que \mathbb{R}^{+}=(0,\infty) (somente os reais positivos, excluindo o zero), então a imagem coincide com \mathbb{R}^{+} e a função é sobrejetiva. Se, por outro lado, o autor usa \mathbb{R}^{+}=[0,\infty) (incluindo o zero), então 0 não é atingido por f e a função NÃO seria sobrejetiva. Normalmente em exercícios universitários \mathbb{R}^{+} é (0,\infty); vou continuar com essa convenção.
Com a convenção \mathbb{R}^{+}=(0,\infty), f é sobrejetiva.

Passo 6

Concluindo sobre invertibilidade.
Juntando Passo 4 (injetiva) e Passo 5 (sobrejetiva para \mathbb{R}^{+}=(0,\infty)), temos que f é bijetiva, logo invertível, se \mathbb{R}^{+}=(0,\infty). Se \mathbb{R}^{+}=[0,\infty) então f não é sobrejetiva e portanto não é invertível.

Passo 7

Encontrando explicitamente a inversa (assumindo \mathbb{R}^{+}=(0,\infty)).
Para achar f^{-1} resolvemos y=f(x)=1-2x para x em termos de y. Assim:
y=1-2x \quad\Rightarrow\quad 2x=1-y \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1-y}{2}.
Portanto a função inversa é
f^{-1}(y)=\frac{1-y}{2},
com domínio de f^{-1} igual à imagem de f, isto é (0,\infty), e contradomínio \left(-\infty,\tfrac{1}{2}\right).

Passo 8

Verificação rápida da inversa (checagem de consistência).
  • Compondo f com f^{-1}:
f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=f\!\left(\frac{1-y}{2}\right)=1-2\cdot\frac{1-y}{2}=1-(1-y)=y.
  • Compondo na outra ordem:
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=f^{-1}(1-2x)=\frac{1-(1-2x)}{2}=\frac{2x}{2}=x.
As duas composições dão a identidade nos domínios apropriados, confirmando que f^{-1} está correta.

Resposta

Domínio: \left(-\infty,\tfrac{1}{2}\right)
Invertível: Sim, se \mathbb{R}^{+}=(0,\infty) (é bijetiva); se \mathbb{R}^{+}=[0,\infty) então não é sobrejetiva e não é invertível.
Inversa (quando invertível): f^{-1}:(0,\infty)\to\left(-\infty,\tfrac{1}{2}\right), \;f^{-1}(y)=\dfrac{1-y}{2}.

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