(2,5 pts) Calcule \iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V onde E é o sólido que está denro do cilindro x^{2}+y^{2}=9 e entre os planos z=2 e z=5.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral tripla
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dV
onde E é o sólido definido por:
está dentro do cilindro \;x^{2}+y^{2}=9\; (ou seja, raio 3 em relação ao eixo z);
está entre os planos \;z=2\; e \;z=5\;.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A região em x,y é o disco de raio 3 centrado na origem.
A altura em z vai de 2 até 5.
O integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}}, que depende apenas da distância radial ao eixo z.
Passo 2
Por que usar coordenadas cilíndricas? Aqui o integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}} depende só da distância radial ao eixo z, e a região em x,y é um disco — isso combina muito bem com coordenadas cilíndricas. Vou agora definir essas coordenadas e explicar o que cada variável representa.
Definição das coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde:
\;r\ge 0\; é a distância do ponto ao eixo z (raio no plano xy);
\;\theta\in[0,2\pi)\; é o ângulo polar no plano xy;
\;z\; é a mesma coordenada vertical de antes.
Essas transformações nos permitem reescrever o integrando e os limites de forma mais simples.
Passo 3
Preciso também da expressão do elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas. Mostro o cálculo do jacobiano (forma direta e clara):
Interpretação rápida e incentivo: o resultado é um número múltiplo de \pi, faz sentido pois a simetria circular trouxe um fator 2\pi. Mandou bem por ter escolhido este exercício — a técnica das coordenadas cilíndricas aqui é a chave e resolve muitas integrais com simetria radial. Você consegue aplicar o mesmo passo a passo em problemas similares: identificar simetria, escolher coordenadas apropriadas, transformar integrando e usar o jacobiano.