(2,5 pts) Calcule \iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V onde E é o sólido que está denro do cilindro x^{2}+y^{2}=9 e entre os planos z=2 e z=5.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral tripla
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dV
onde E é o sólido definido por:
  • está dentro do cilindro \;x^{2}+y^{2}=9\; (ou seja, raio 3 em relação ao eixo z);
  • está entre os planos \;z=2\; e \;z=5\;.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A região em x,y é o disco de raio 3 centrado na origem.
  • A altura em z vai de 2 até 5.
  • O integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}}, que depende apenas da distância radial ao eixo z.

Passo 2

Por que usar coordenadas cilíndricas? Aqui o integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}} depende só da distância radial ao eixo z, e a região em x,y é um disco — isso combina muito bem com coordenadas cilíndricas. Vou agora definir essas coordenadas e explicar o que cada variável representa.
Definição das coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde:
  • \;r\ge 0\; é a distância do ponto ao eixo z (raio no plano xy);
  • \;\theta\in[0,2\pi)\; é o ângulo polar no plano xy;
  • \;z\; é a mesma coordenada vertical de antes.
Essas transformações nos permitem reescrever o integrando e os limites de forma mais simples.

Passo 3

Preciso também da expressão do elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas. Mostro o cálculo do jacobiano (forma direta e clara):
Matriz jacobiana \dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}:
\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial z} \\\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial z} \\\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é
\det = (\cos\theta)(r\cos\theta) - (-r\sin\theta)(\sin\theta) = r(\cos^2\theta+\sin^2\theta) = r.
Portanto
dV = r\, dr\, d\theta\, dz.

Passo 4

Transformo o integrando e estabeleço os limites. Observações:
  • \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r (pois r é exatamente a distância radial).
  • Multiplicando pelo jacobiano r obtemos o integrando em r,\theta,z: r\cdot r = r^{2}.
  • Limites:
    • r varia de 0 até 3 (do centro do disco até a circunferência x^{2}+y^{2}=9);
    • \theta varia de 0 até 2\pi (todo o disco);
    • z varia de 2 até 5.
Assim a integral vira
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{3}\int_{z=2}^{5} r^{2}\, dz\, dr\, d\theta.

Passo 5

Faço as integrais na ordem escrita (primeiro em z, depois r, depois \theta), explicando cada passo:
  1. Integral em z:
\int_{z=2}^{5} r^{2}\, dz = r^{2}\big|_{z=2}^{5} = r^{2}(5-2) = 3r^{2}.
(Como r é tratado como constante ao integrar em z.)
  1. Integral em r:
\int_{r=0}^{3} 3r^{2}\, dr = 3\cdot \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = \left[r^{3}\right]_{0}^{3} = 3^{3}-0 = 27.
(Expliquei: primitive de r^{2} é r^{3}/3, o 3 na frente cancela.)
  1. Integral em \theta:
\int_{\theta=0}^{2\pi} 27\, d\theta = 27\cdot \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} = 27\cdot 2\pi = 54\pi.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: o resultado é um número múltiplo de \pi, faz sentido pois a simetria circular trouxe um fator 2\pi. Mandou bem por ter escolhido este exercício — a técnica das coordenadas cilíndricas aqui é a chave e resolve muitas integrais com simetria radial. Você consegue aplicar o mesmo passo a passo em problemas similares: identificar simetria, escolher coordenadas apropriadas, transformar integrando e usar o jacobiano.

Resposta

54\pi

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