(2,5 pts) Calcule \iiint_{E} x y d V onde E é o sólido que está abaixo do plano z=1 e acima da região do plano x y limitada pelas curvas y=x^{2}, y=0 e x=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla \iiint_{E} x\,y\,dV, onde E é o sólido que está abaixo do plano \;z=1\; e acima da região do plano xy limitada pelas curvas \;y=x^{2},\;y=0\; e \;x=1\.\n
Informações relevantes dadas:
  • A função integranda é x\,y.
  • O sólido E está abaixo de \;z=1\; (isto é, tem teto em \;z=1) e está sobre (acima de) a região R no plano xy limitada por \;y=x^{2},\;y=0\; e \;x=1.
  • Preciso determinar os limites de integração que descrevem E e avaliar a integral.

Passo 2

Decisão do método de integração (por que usar coordenadas retangulares e integração iterada):\n
A região no plano xy é claramente descrita por curvas em coordenadas cartesianas e é limitada por uma reta vertical ( x=1), pelo eixo y=0 e pela parábola y=x^{2}. Isso sugere usar integração iterada em coordenadas cartesianas (integração do tipo \int\!\int\!\int). Outra alternativa (por exemplo, coordenadas polares) não simplifica aqui. Portanto vamos escrever a integral tripla como uma integral iterada em z, y, x.

Passo 3

Caracterização da região R do plano xy (base do sólido):\n
As curvas dadas são \;y=0 (eixo x), \;y=x^{2} (parábola) e \;x=1 (reta vertical). Para 0\le x\le 1 temos x^{2}\ge 0, então a parábola está acima do eixo y=0. Logo, para cada x entre 0 e 1, y varia de 0 até x^{2}. Portanto os limites da região R são
0 \le x \le 1,\qquad 0 \le y \le x^{2}.

Passo 4

Limites em z para o sólido E:\n
O sólido está abaixo do plano \;z=1\; e "acima da região do plano xy". Isso significa que, sobre cada ponto (x,y)\in R, z vai do plano xy (isto é, z=0) até z=1. Logo
0 \le z \le 1.

Passo 5

Montagem da integral iterada com os limites encontrados:\n
A integral tripla fica, em ordem dz\,dy\,dx,
\iiint_{E} x\,y\,dV \;=\; \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x^{2}}\int_{z=0}^{1} x\,y\;dz\;dy\;dx.
Aqui escrevo explicitamente os limites decididos nos passos anteriores.

Passo 6

Observação que simplifica o cálculo (integrando primeiro em z):\n
A integranda x\,y não depende de z. Então a integração em z é simples:
\int_{z=0}^{1} x\,y\;dz \;=\; x\,y \int_{0}^{1} dz \;=\; x\,y \cdot (1-0) \;=\; x\,y.
Assim a integral tripla reduz-se à integral dupla sobre R:
\iiint_{E} x\,y\,dV \;=\; \int_{0}^{1}\int_{0}^{x^{2}} x\,y\;dy\;dx.

Passo 7

Cálculo da integral interna (integração em y):\n
Calculo \displaystyle \int_{0}^{x^{2}} x\,y\;dy. Como x é constante em relação a y, podemos puxá-lo para fora:
\int_{0}^{x^{2}} x\,y\;dy \;=\; x \int_{0}^{x^{2}} y\;dy \;=\; x \left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{x^{2}}
\;=\; x \cdot \tfrac{1}{2}\,(x^{2})^{2} \;=\; \tfrac{1}{2}\,x\cdot x^{4} \;=\; \tfrac{1}{2}\,x^{5}.
Expliquei: usei a primitiva de y que é \tfrac{1}{2}y^{2} e avaliei nos extremos.

Passo 8

Integração final em x e resultado numérico:\n
Agora integro \tfrac{1}{2}x^{5} de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \tfrac{1}{2}x^{5}\;dx \;=\; \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{5}\;dx \;=\; \tfrac{1}{2}\left[\tfrac{1}{6}x^{6}\right]_{0}^{1}
\;=\; \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{6}\cdot(1^{6}-0) \;=\; \tfrac{1}{12}.
Portanto a integral vale \tfrac{1}{12}.

Resposta

\tfrac{1}{12}

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