(2,5 pts) Calcule
onde E é o sólido que está abaixo do plano
e acima da região do plano
limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
, onde
é o sólido que está abaixo do plano
e acima da região do plano
limitada pelas curvas
e
\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função integranda é
. - O sólido
está abaixo de (isto é, tem teto em ) e está sobre (acima de) a região no plano limitada por e . - Preciso determinar os limites de integração que descrevem
e avaliar a integral.
Passo 2
Decisão do método de integração (por que usar coordenadas retangulares e integração iterada):\n
A região no plano é claramente descrita por curvas em coordenadas cartesianas e é limitada por uma reta vertical (
), pelo eixo
e pela parábola
. Isso sugere usar integração iterada em coordenadas cartesianas (integração do tipo
). Outra alternativa (por exemplo, coordenadas polares) não simplifica aqui. Portanto vamos escrever a integral tripla como uma integral iterada em
,
,
.
A região no plano
Passo 3
Caracterização da região
do plano
(base do sólido):\n
As curvas dadas são (eixo
),
(parábola) e
(reta vertical). Para
temos
, então a parábola está acima do eixo
. Logo, para cada
entre
e
,
varia de
até
. Portanto os limites da região
são
As curvas dadas são
Passo 4
Limites em
para o sólido
:\n
O sólido está abaixo do plano e "acima da região do plano
". Isso significa que, sobre cada ponto
,
vai do plano
(isto é,
) até
. Logo
O sólido está abaixo do plano
Passo 5
Montagem da integral iterada com os limites encontrados:\n
A integral tripla fica, em ordem ,
A integral tripla fica, em ordem
Aqui escrevo explicitamente os limites decididos nos passos anteriores.
Passo 6
Observação que simplifica o cálculo (integrando primeiro em
):\n
A integranda não depende de
. Então a integração em
é simples:
A integranda
Assim a integral tripla reduz-se à integral dupla sobre
:
Passo 7
Cálculo da integral interna (integração em
):\n
Calculo . Como
é constante em relação a
, podemos puxá-lo para fora:
Calculo
Expliquei: usei a primitiva de
que é
e avaliei nos extremos.
Passo 8
Integração final em
e resultado numérico:\n
Agora integro de
a
:
Agora integro
Portanto a integral vale
.