( 8 pts.) Determine (caso existam) todas as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar todas as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão da função é
. - A presença da raiz quadrada impõe que o radicando deve ser não-negativo:
. - O denominador não pode ser zero:
. - Precisamos achar: (1) pontos verticais onde o gráfico tem assíntota vertical (limites laterais ±∞) e (2) retas horizontais
que sejam assíntotas quando .
Passo 2
Vamos achar o domínio da função (isso é essencial para saber de onde podemos aproximar os pontos e de onde vêm as assíntotas). Resolvemos a desigualdade do radicando:
As raízes são
e
. Como é uma parábola com coeficiente de
positivo, o produto
é
para
Além disso temos a restrição
(pelo denominador). Portanto o domínio é
Passo 3
Definição prática lembrada (aula rápida):
- Uma assíntota vertical em
ocorre se a função não estiver definida em e pelo menos uma das 3 possibilidades: ou . - Uma assíntota horizontal
ocorre se ou .
Agora identifiquemos candidatos a assíntotas verticais: pontos onde a função não está definida mas que estão no fecho do domínio. Do domínio acima, o único ponto interno onde a função falha por causa do denominador é
(pois
mas
). Pontos
e
pertencem ao domínio e aí a raiz pode ser zero; nesses pontos a função pode ter valor finito, então não são candidatos imediatos a assíntota vertical. Portanto o único candidato é
.
Passo 4
Estudamos os limites laterais em
para confirmar assíntota vertical. Observação didática: se o numerador tende a um número não nulo e o denominador tende a
com sinal definido, o quociente tende a
.
Calculemos:
O numerador quando tende a
, que é um número positivo e finito. Logo
O numerador quando
pois o denominador
vem positivo e muito pequeno.
pois o denominador
vem negativo e muito pequeno. Conclusão:
é uma assíntota vertical, já que há divergência para
nas duas direções.
Passo 5
Agora procuramos assíntotas horizontais, ou seja limites quando
e quando
.
Dica prática para funções com raiz de polinômio: fatoramos
dentro da raiz e usamos
. Vamos calcular os dois limites separadamente.
Para
(aqui
, então
). Reescrevemos:
À medida que
temos
e
. Portanto
Isto mostra que
é assíntota horizontal à direita.
Passo 6
Para
(aqui
, então
e
). Podemos proceder assim:
Como
temos
e
. Logo
Isto mostra que
é assíntota horizontal à esquerda.
Passo 7
Checagem final e observações:
- Não há outras singularidades no domínio que gerem assíntotas verticais (como raízes do denominador em pontos fora do domínio).
- Como os limites em
são finitos, não há assíntotas oblíquas; as horizontais já foram identificadas.
Resposta
Assíntota vertical:
.
Assíntotas horizontais:
(quando
) e
(quando
).