( 8 pts.) Determine (caso existam) todas as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+7 x+10}}{x}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+7x+10}}{x}.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão da função é \frac{\sqrt{x^{2}+7x+10}}{x}.
  • A presença da raiz quadrada impõe que o radicando deve ser não-negativo: x^{2}+7x+10\ge 0.
  • O denominador não pode ser zero: x\neq 0.
  • Precisamos achar: (1) pontos verticais onde o gráfico tem assíntota vertical (limites laterais ±∞) e (2) retas horizontais y=L que sejam assíntotas quando x\to\pm\infty.

Passo 2

Vamos achar o domínio da função (isso é essencial para saber de onde podemos aproximar os pontos e de onde vêm as assíntotas). Resolvemos a desigualdade do radicando:
x^{2}+7x+10=(x+5)(x+2).
As raízes são x=-5 e x=-2. Como é uma parábola com coeficiente de x^{2} positivo, o produto (x+5)(x+2) é \ge 0 para
x\in(-\infty,-5]\cup[-2,\infty).
Além disso temos a restrição x\neq 0 (pelo denominador). Portanto o domínio é
\mathcal{D}=(-\infty,-5]\cup[-2,0)\cup(0,\infty).

Passo 3

Definição prática lembrada (aula rápida):
  • Uma assíntota vertical em x=a ocorre se a função não estiver definida em x=a e pelo menos uma das 3 possibilidades: \lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty ou \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty.
  • Uma assíntota horizontal y=L ocorre se \lim_{x\to+\infty}f(x)=L ou \lim_{x\to-\infty}f(x)=L.
Agora identifiquemos candidatos a assíntotas verticais: pontos onde a função não está definida mas que estão no fecho do domínio. Do domínio acima, o único ponto interno onde a função falha por causa do denominador é x=0 (pois 0\in[-2,\infty) mas x\neq0). Pontos x=-5 e x=-2 pertencem ao domínio e aí a raiz pode ser zero; nesses pontos a função pode ter valor finito, então não são candidatos imediatos a assíntota vertical. Portanto o único candidato é x=0.

Passo 4

Estudamos os limites laterais em x=0 para confirmar assíntota vertical. Observação didática: se o numerador tende a um número não nulo e o denominador tende a 0 com sinal definido, o quociente tende a \pm\infty.
Calculemos:
O numerador quando x\to 0 tende a \sqrt{0^{2}+7\cdot0+10}=\sqrt{10}, que é um número positivo e finito. Logo
\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{x^{2}+7x+10}}{x}= \frac{\sqrt{10}}{0^+}=+\infty,
pois o denominador x vem positivo e muito pequeno.
\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}\frac{\sqrt{x^{2}+7x+10}}{x}= \frac{\sqrt{10}}{0^-}=-\infty,
pois o denominador x vem negativo e muito pequeno. Conclusão: x=0 é uma assíntota vertical, já que há divergência para \pm\infty nas duas direções.

Passo 5

Agora procuramos assíntotas horizontais, ou seja limites quando x\to+\infty e quando x\to-\infty.
Dica prática para funções com raiz de polinômio: fatoramos x^{2} dentro da raiz e usamos \sqrt{x^{2}}=|x|. Vamos calcular os dois limites separadamente.
Para x\to +\infty (aqui x>0, então |x|=x). Reescrevemos:
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+7x+10}}{x}=\sqrt{\frac{x^{2}+7x+10}{x^{2}}}=\sqrt{1+\frac{7}{x}+\frac{10}{x^{2}}}.
À medida que x\to+\infty temos \frac{7}{x}\to 0 e \frac{10}{x^{2}}\to 0. Portanto
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\sqrt{1+0+0}=1.
Isto mostra que y=1 é assíntota horizontal à direita.

Passo 6

Para x\to -\infty (aqui x<0, então |x|=-x e |x|/x=-1). Podemos proceder assim:
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+7x+10}}{x}=\frac{|x|}{x}\sqrt{1+\frac{7}{x}+\frac{10}{x^{2}}}.
Como x\to -\infty temos \sqrt{1+\frac{7}{x}+\frac{10}{x^{2}}}\to 1 e \frac{|x|}{x}=-1. Logo
\lim_{x\to -\infty}f(x)=(-1)\cdot 1=-1.
Isto mostra que y=-1 é assíntota horizontal à esquerda.

Passo 7

Checagem final e observações:
  • Não há outras singularidades no domínio que gerem assíntotas verticais (como raízes do denominador em pontos fora do domínio).
  • Como os limites em \pm\infty são finitos, não há assíntotas oblíquas; as horizontais já foram identificadas.

Resposta

Assíntota vertical: x=0.
Assíntotas horizontais: y=1 (quando x\to+\infty) e y=-1 (quando x\to-\infty).

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