Prove que os módulos de resistência “Wx” e “Wy” do perfil
são
e
, respectivamente (apêndice C , hibbeller, 5edit, pg. 768). Considere as mesas do perfil como retângulos de espessura tf.
Passo 1
O enunciado pede para provar que os módulos de resistência do perfil
são
e
considerando as mesas (flanges) do perfil como retângulos de espessura
.\n
Informações relevantes que o enunciado dá ou implica:
Informações relevantes que o enunciado dá ou implica:
- A designação do perfil é
(presumo que isto seja a referência do apêndice C do Hibbeler). - Devemos tratar as mesas (flanges) como retângulos de espessura
. - Para calcular os módulos de resistência precisamos das dimensões geométricas do perfil: altura total
, largura da mesa , espessura da mesa e espessura do alma . Essas dimensões normalmente constam na Tabela do apêndice C (pg. 768) do Hibbeler.\n
Observação importante: eu não tenho acesso ao apêndice C (tabela) aqui; portanto os valores numéricos de, , e que estão naquela tabela não foram fornecidos. Sem esses dados numéricos eu não consigo “provar numericamente” os valores finais. Nas próximas etapas eu vou: - apresentar passo a passo como calcular
e a partir das dimensões (de forma didática), e - mostrar claramente quais números da tabela são necessários para obter os valores pedidos.
Se você quiser, com os valores de, , e eu sigo os mesmos passos e chego aos números finais.
Passo 2
O que precisamos calcular (resumo matemático e definição das grandezas):
- O módulo de resistência em torno do eixo forte (eixo horizontal principal) é dado por
onde
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro horizontal (eixo
) e
é a distância do eixo neutro à fibra extrema na direção vertical (ou seja
para seção simétrica).
- O módulo de resistência em torno do eixo fraco (eixo vertical) é dado por
onde
é o momento de inércia em relação ao eixo vertical (eixo
) e
é a distância do eixo neutro à fibra extrema na direção horizontal (ou seja
por simetria).
Explicando os símbolos que vamos usar:
Explicando os símbolos que vamos usar:
-
: altura total do perfil (distância entre faces externas das mesas); -
: largura da mesa (flange width); -
: espessura da mesa (flange thickness) — dado para aproximar as mesas como retângulos; -
: espessura da alma (web thickness); -
: altura útil da alma (entre as mesas) .
Passo 3
Fórmulas básicas para retângulos (aula curta e intuitiva):
- Momento de inércia de um retângulo de base
e altura em relação a seu eixo centroidal paralelo à base (eixo horizontal passando pelo centro) é
Aqui
é a extensão horizontal e
é a espessura vertical. O fator
vem da integração da distribuição de área ao redor do eixo central.
- Momento de inércia de um retângulo em relação ao seu eixo centroidal vertical (eixo passando pelo centro e paralelo à altura) é
- Teorema dos eixos paralelos (para deslocar o momento de inércia de um eixo centroidal para um eixo paralelo deslocado de distância
):
onde
é a área do corpo e
a distância entre eixos.
Vou aplicar essas fórmulas às partes do perfil: duas mesas (flanges) idênticas e uma alma (web) retangular.
Passo 4
Cálculo detalhado do momento de inércia
em relação ao eixo horizontal central (eixo forte):
- Considere cada flange como um retângulo de base
e altura (espessura) . O momento de inércia de uma flange em sua própria centroidal horizontal é
- A área de uma flange é
. - A distância do centro da flange até o eixo neutro horizontal da seção inteira (por simetria o eixo passa pelo meio da altura total) é
- Pelo teorema dos eixos paralelos, o momento de inércia de UMA flange em relação ao eixo neutro da peça é
- Como há duas flanges idênticas, a contribuição total das flanges é
- A alma é um retângulo de base (espessura)
e altura . Seu momento de inércia em relação ao eixo horizontal centroidal é
- Então o momento de inércia total em torno do eixo
é
com
.
Observações pedagógicas:
Observações pedagógicas:
- O termo com
é a contribuição “local” de cada flange (pequena quando a flange é fina). - O termo com
costuma dominar porque multiplica a área da flange pela distância ao quadrado até o centro (efeito alavanca).
Passo 5
Cálculo detalhado do momento de inércia
em relação ao eixo vertical central (eixo fraco):
- Cada flange, visto de lado verticalmente, tem momento de inércia em relação ao eixo vertical passando pelo seu centro
Como as duas flanges estão centradas no eixo vertical (por simetria) não há termo de deslocamento (não precisamos do teorema dos eixos paralelos para as flanges em relação a
).
- A alma, sendo um retângulo de altura
e espessura , tem momento de inércia em relação ao eixo vertical
- Portanto o momento de inércia total em torno do eixo
é
com
.
Didática extra:
Didática extra:
- Observe que no cálculo de
o termo dominante costuma ser quando as mesas são largas ( grande) mesmo que sejam relativamente finas.
Passo 6
Cálculo dos módulos de resistência a partir de
e
(definição e como proceder):
- Para o eixo forte:
- Para o eixo fraco:
Procedimento prático passo-a-passo para “provar” os valores do apêndice:
- Pegue na Tabela do apêndice C (Hibbeler) os valores numéricos de
para o perfil . (Aqui é onde o dado da tabela é imprescindível.) - Calcule
. - Calcule
usando a expressão do Passo 4 (substitua os números). - Calcule
. - Calcule
usando a expressão do Passo 5. - Calcule
. - Compare os resultados numéricos obtidos com os valores dados no enunciado (
e ). Se os passos e a aproximação (mesas como retângulos) estiverem corretos, os números devem coincidir (ou ficar muito próximos, dependendo do nível de arredondamento adotado).
Passo 7
Exemplo ilustrativo (sem utilizar a tabela — apenas para mostrar as contas):
– Observação: ESTE EXEMPLO usa números inventados apenas para mostrar como entrar com valores nas fórmulas; não é a prova pedida porque não usei os dados do apêndice C. --\n
Suponha que a tabela desse . Então procedemos:
– Observação: ESTE EXEMPLO usa números inventados apenas para mostrar como entrar com valores nas fórmulas; não é a prova pedida porque não usei os dados do apêndice C. --\n
Suponha que a tabela desse
-
. - Calcule
pela fórmula do Passo 4 (substituindo os números). - Calcule
. - Calcule
pela fórmula do Passo 5. - Calcule
.
(O exemplo acima serve só para mostrar a sequência; eu não estou afirmando que essese são os reais do apêndice.)
Passo 8
Resumo do método e por que é o procedimento correto:
- A seção I (perfil em I) é formada por três retângulos: duas flanges e a alma. Ao tratar cada componente como retângulo e aplicar o teorema dos eixos paralelos, obtemos exatamente os momentos de inércia da seção composta. Dividindo por
e obtemos os módulos de resistência e . - O único ponto que falta para “provar numericamente” os valores solicitados é conhecer as dimensões concretas
que estão na Tabela do apêndice C do Hibbeler (pg. 768). Sem esses números não há como apresentar o cálculo numérico final.
Resposta
Não é possível comprovar numericamente os valores indicados porque as dimensões geométricas do perfil
(valores de
) constantes do apêndice C do Hibbeler não foram fornecidas aqui. Use as fórmulas do Passo 4 e do Passo 5 com os valores da tabela do apêndice C para obter
e
; seguindo esses passos você chegará aos valores informados (ou a valores muito próximos, dependendo do arredondamento).