Prove que os módulos de resistência “Wx” e “Wy” do perfil 1510 \times 143 são 2710 \times 10^{\wedge} 3 \mathrm{~mm}^{3} e 228 \times 10^{\wedge} 3 \mathrm{~mm}^{3}, respectivamente (apêndice C , hibbeller, 5edit, pg. 768). Considere as mesas do perfil como retângulos de espessura tf.

Passo 1

O enunciado pede para provar que os módulos de resistência do perfil 1510\times143 são
W_x = 2710\times10^{3}\\ \mathrm{mm}^3
e
W_y = 228\times10^{3}\\ \mathrm{mm}^3,
considerando as mesas (flanges) do perfil como retângulos de espessura t_f.\n
Informações relevantes que o enunciado dá ou implica:
  • A designação do perfil é 1510\times143 (presumo que isto seja a referência do apêndice C do Hibbeler).
  • Devemos tratar as mesas (flanges) como retângulos de espessura t_f.
  • Para calcular os módulos de resistência precisamos das dimensões geométricas do perfil: altura total h, largura da mesa b_f, espessura da mesa t_f e espessura do alma t_w. Essas dimensões normalmente constam na Tabela do apêndice C (pg. 768) do Hibbeler.\n
    Observação importante: eu não tenho acesso ao apêndice C (tabela) aqui; portanto os valores numéricos de h, b_f, t_f e t_w que estão naquela tabela não foram fornecidos. Sem esses dados numéricos eu não consigo “provar numericamente” os valores finais. Nas próximas etapas eu vou:
  • apresentar passo a passo como calcular W_x e W_y a partir das dimensões (de forma didática), e
  • mostrar claramente quais números da tabela são necessários para obter os valores pedidos.
    Se você quiser, com os valores de h, b_f, t_f e t_w eu sigo os mesmos passos e chego aos números finais.

Passo 2

O que precisamos calcular (resumo matemático e definição das grandezas):
  • O módulo de resistência em torno do eixo forte (eixo horizontal principal) é dado por
W_x=\frac{I_x}{c_x},
onde I_x é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro horizontal (eixo x) e c_x é a distância do eixo neutro à fibra extrema na direção vertical (ou seja c_x=h/2 para seção simétrica).
  • O módulo de resistência em torno do eixo fraco (eixo vertical) é dado por
W_y=\frac{I_y}{c_y},
onde I_y é o momento de inércia em relação ao eixo vertical (eixo y) e c_y é a distância do eixo neutro à fibra extrema na direção horizontal (ou seja c_y=b_f/2 por simetria).
Explicando os símbolos que vamos usar:
  • h: altura total do perfil (distância entre faces externas das mesas);
  • b_f: largura da mesa (flange width);
  • t_f: espessura da mesa (flange thickness) — dado para aproximar as mesas como retângulos;
  • t_w: espessura da alma (web thickness);
  • d: altura útil da alma (entre as mesas) \,=h-2t_f.

Passo 3

Fórmulas básicas para retângulos (aula curta e intuitiva):
  • Momento de inércia de um retângulo de base b e altura t em relação a seu eixo centroidal paralelo à base (eixo horizontal passando pelo centro) é
I_{\text{rect, horizontal}}=\frac{b\,t^{3}}{12}.
Aqui b é a extensão horizontal e t é a espessura vertical. O fator 1/12 vem da integração da distribuição de área ao redor do eixo central.
  • Momento de inércia de um retângulo em relação ao seu eixo centroidal vertical (eixo passando pelo centro e paralelo à altura) é
I_{\text{rect, vertical}}=\frac{t\,b^{3}}{12}.
  • Teorema dos eixos paralelos (para deslocar o momento de inércia de um eixo centroidal para um eixo paralelo deslocado de distância a):
I_{\text{deslocado}}=I_{\text{centro}} + A\,a^{2},
onde A é a área do corpo e a a distância entre eixos.
Vou aplicar essas fórmulas às partes do perfil: duas mesas (flanges) idênticas e uma alma (web) retangular.

Passo 4

Cálculo detalhado do momento de inércia I_x em relação ao eixo horizontal central (eixo forte):
  • Considere cada flange como um retângulo de base b_f e altura (espessura) t_f. O momento de inércia de uma flange em sua própria centroidal horizontal é
I_{\text{f,centroid}}=\frac{b_f\,t_f^{3}}{12}.
  • A área de uma flange é A_f=b_f\,t_f.
  • A distância do centro da flange até o eixo neutro horizontal da seção inteira (por simetria o eixo passa pelo meio da altura total) é
a=\frac{h-t_f}{2}.
  • Pelo teorema dos eixos paralelos, o momento de inércia de UMA flange em relação ao eixo neutro da peça é
I_{\text{f,total}}=\frac{b_f\,t_f^{3}}{12} + b_f\,t_f\left(\frac{h-t_f}{2}\right)^{2}.
  • Como há duas flanges idênticas, a contribuição total das flanges é
I_{\text{flanges}}=2\left[\frac{b_f\,t_f^{3}}{12} + b_f\,t_f\left(\frac{h-t_f}{2}\right)^{2}\right].
  • A alma é um retângulo de base (espessura) t_w e altura d=h-2t_f. Seu momento de inércia em relação ao eixo horizontal centroidal é
I_{\text{web}}=\frac{t_w\,d^{3}}{12}.
  • Então o momento de inércia total em torno do eixo x é
\boxed{\,I_x = 2\left(\frac{b_f\,t_f^{3}}{12} + b_f\,t_f\left(\frac{h-t_f}{2}\right)^{2}\right) + \frac{t_w\,d^{3}}{12}\,}
com d=h-2t_f.
Observações pedagógicas:
  • O termo com t_f^{3} é a contribuição “local” de cada flange (pequena quando a flange é fina).
  • O termo com b_f\,t_f\left(\frac{h-t_f}{2}\right)^{2} costuma dominar I_x porque multiplica a área da flange pela distância ao quadrado até o centro (efeito alavanca).

Passo 5

Cálculo detalhado do momento de inércia I_y em relação ao eixo vertical central (eixo fraco):
  • Cada flange, visto de lado verticalmente, tem momento de inércia em relação ao eixo vertical passando pelo seu centro
I_{\text{f,vertical}}=\frac{t_f\,b_f^{3}}{12}.
Como as duas flanges estão centradas no eixo vertical (por simetria) não há termo de deslocamento (não precisamos do teorema dos eixos paralelos para as flanges em relação a y).
  • A alma, sendo um retângulo de altura d e espessura t_w, tem momento de inércia em relação ao eixo vertical
I_{\text{web,vertical}}=\frac{d\,t_w^{3}}{12}.
  • Portanto o momento de inércia total em torno do eixo y é
\boxed{\,I_y = 2\left(\frac{t_f\,b_f^{3}}{12}\right) + \frac{d\,t_w^{3}}{12}\,}
com d=h-2t_f.
Didática extra:
  • Observe que no cálculo de I_y o termo dominante costuma ser 2\cdot\frac{t_f\,b_f^{3}}{12} quando as mesas são largas ( b_f grande) mesmo que sejam relativamente finas.

Passo 6

Cálculo dos módulos de resistência a partir de I_x e I_y (definição e como proceder):
  • Para o eixo forte:
c_x=\frac{h}{2},\qquad W_x=\frac{I_x}{c_x}=\frac{2I_x}{h}.
  • Para o eixo fraco:
c_y=\frac{b_f}{2},\qquad W_y=\frac{I_y}{c_y}=\frac{2I_y}{b_f}.
Procedimento prático passo-a-passo para “provar” os valores do apêndice:
  1. Pegue na Tabela do apêndice C (Hibbeler) os valores numéricos de h,\\ b_f,\\ t_f,\\ t_w para o perfil 1510\times143. (Aqui é onde o dado da tabela é imprescindível.)
  2. Calcule d=h-2t_f.
  3. Calcule I_x usando a expressão do Passo 4 (substitua os números).
  4. Calcule W_x=2I_x/h.
  5. Calcule I_y usando a expressão do Passo 5.
  6. Calcule W_y=2I_y/b_f.
  7. Compare os resultados numéricos obtidos com os valores dados no enunciado ( 2710\times10^{3}\\ \mathrm{mm}^3 e 228\times10^{3}\\ \mathrm{mm}^3). Se os passos e a aproximação (mesas como retângulos) estiverem corretos, os números devem coincidir (ou ficar muito próximos, dependendo do nível de arredondamento adotado).

Passo 7

Exemplo ilustrativo (sem utilizar a tabela — apenas para mostrar as contas):
– Observação: ESTE EXEMPLO usa números inventados apenas para mostrar como entrar com valores nas fórmulas; não é a prova pedida porque não usei os dados do apêndice C. --\n
Suponha que a tabela desse h=1510\\ \mathrm{mm},\\ b_f=143\\ \mathrm{mm},\\ t_f=30\\ \mathrm{mm},\\ t_w=12\\ \mathrm{mm}. Então procedemos:
  • d=1510-2\cdot30=1450\\ \mathrm{mm}.
  • Calcule I_x pela fórmula do Passo 4 (substituindo os números).
  • Calcule W_x=2I_x/h.
  • Calcule I_y pela fórmula do Passo 5.
  • Calcule W_y=2I_y/b_f.
    (O exemplo acima serve só para mostrar a sequência; eu não estou afirmando que esses t_f e t_w são os reais do apêndice.)

Passo 8

Resumo do método e por que é o procedimento correto:
  • A seção I (perfil em I) é formada por três retângulos: duas flanges e a alma. Ao tratar cada componente como retângulo e aplicar o teorema dos eixos paralelos, obtemos exatamente os momentos de inércia da seção composta. Dividindo por c_x e c_y obtemos os módulos de resistência W_x e W_y.
  • O único ponto que falta para “provar numericamente” os valores solicitados é conhecer as dimensões concretas h,\\ b_f,\\ t_f,\\ t_w que estão na Tabela do apêndice C do Hibbeler (pg. 768). Sem esses números não há como apresentar o cálculo numérico final.

Resposta

Não é possível comprovar numericamente os valores indicados porque as dimensões geométricas do perfil 1510\times143 (valores de h,\\ b_f,\\ t_f,\\ t_w) constantes do apêndice C do Hibbeler não foram fornecidas aqui. Use as fórmulas do Passo 4 e do Passo 5 com os valores da tabela do apêndice C para obter W_x e W_y; seguindo esses passos você chegará aos valores informados (ou a valores muito próximos, dependendo do arredondamento).

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