(2,0 pts) - Em um experimento de difraçāo, o mínimo de terceira ordem está a 25^{\circ} do máximo central. (a) Em que ăngulo ocorre o mínimo de primeira ordem? (b) Qual o maior valor possivel de m neste padrāo de difraçảo ?

Passo 1

O enunciado nos dá que, num experimento de difração, o mínimo de terceira ordem está a 25^\circ do máximo central. Ou seja:
  • Informação dada: o mínimo com m=3 ocorre em \theta_3 = 25^\circ.
  • Perguntas:
    (a) Em que ângulo ocorre o mínimo de primeira ordem ( m=1)?
    (b) Qual o maior valor possível de m nesse padrão de difração?

Passo 2

Qual é a relação matemática que liga os mínimos de difração simples por fenda?
Para difração por uma fenda única, os mínimos de intensidade (os “zeros” do padrão) obedecem à condição
a\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • a é a largura da fenda (distância entre as bordas que define a abertura),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz usada,
  • \theta é o ângulo medido a partir do máximo central (ou seja, o ângulo entre a direção normal e a direção do mínimo),
  • m é um inteiro não nulo ( m=\pm1,\pm2,\ldots) que identifica a ordem do mínimo.
Explicando de forma simples: essa fórmula diz que cada mínimo aparece quando a diferença de caminho entre ondas vindas de duas extremidades da fenda gera uma interferência destrutiva inteira múltipla de \lambda. Essa condição linear em m é a que vamos usar.

Passo 3

Usando a informação do enunciado ( m=3 em \theta_3=25^\circ), podemos determinar a razão \lambda/a. A partir de
a\sin\theta_3 = 3\lambda
segue
\frac{\lambda}{a}=\frac{\sin\theta_3}{3}.
Calculemos numericamente \sin 25^\circ:
\sin 25^\circ \approx 0,4226.
Logo
\frac{\lambda}{a} \approx \frac{0,4226}{3} \approx 0,1409.

Passo 4

Agora (a): encontrar o ângulo do mínimo de primeira ordem. Para m=1 vale
a\sin\theta_1 = 1\cdot\lambda \quad\Rightarrow\quad \sin\theta_1=\frac{\lambda}{a}.
Substituindo a razão obtida:
\sin\theta_1 \approx 0,1409.
Tomando arco seno:
\theta_1 = \arcsin(0,1409) \approx 8,09^\circ.
Interpretação prática: o primeiro mínimo fica bem mais perto do centro do que o terceiro, porque os ângulos dos mínimos crescem com m de modo que \sin\theta é proporcional a m.

Passo 5

Agora (b): encontrar o maior valor possível de m. A condição física é sempre |\sin\theta|\le 1. Da fórmula dos mínimos,
\sin\theta_m = m\frac{\lambda}{a}.
Portanto a maior ordem inteira m que gera um mínimo é a maior m tal que
m\frac{\lambda}{a} \le 1 \quad\Rightarrow\quad m \le \frac{a}{\lambda}.
Ou seja, o maior m inteiro permitido é
m_{\max} = \left\lfloor \frac{a}{\lambda} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{1}{\lambda/a} \right\rfloor.
Já calculamos \lambda/a \approx 0,1409, então
\frac{1}{\lambda/a}\approx \frac{1}{0,1409}\approx 7,097.
Tomando parte inteira (piso),
m_{\max}=7.
Verificação rápida: para m=7 tem-se \sin\theta_7\approx 7\times0,1409\approx0,986 (válido); para m=8 daria \sin\theta_8\approx1,129>1 (impossível).

Resposta

(a) \theta_1 \approx 8,09^\circ
(b) m_{\max}=7

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