(2,0 pts) - O Mapeador de Emissão Galática (GEM) do INPE é radio telescópio com 5,5 \mathrm{~m} de diâmetro e opera nas frequências de 0.408,1.465,2.3,5 e 10 GHz ; Determine a menor separaçāo angular entre dois objetos para as suas frequências de operação.

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar a menor separação angular entre dois objetos para as frequências de operação do radio telescópio GEM.”
Dados fornecidos (peguei-os diretamente do enunciado):
  • Diâmetro da antena: D=5{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Frequências de operação: 0{,}408\\ \mathrm{GHz},\;1{,}465\\ \mathrm{GHz},\;2{,}3\\ \mathrm{GHz},\;5\\ \mathrm{GHz},\;10\\ \mathrm{GHz}.
O que se pede: para cada frequência, calcular a menor separação angular (resolução angular limitada pela difração) entre dois objetos que o telescópio consegue distinguir.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê. A menor separação angular resolvível por uma antena circular é dada pela aproximação do critério de Rayleigh:
\theta \approx 1{,}22\,\frac{\lambda}{D},
onde:
  • \theta é a resolução angular (em radianos),
  • \lambda é o comprimento de onda (em metros),
  • D é o diâmetro da antena (em metros),
  • o fator 1{,}22 surge da primeira máxima do padrão de difração circular (sombra de Airy).
Também será necessário converter frequência em comprimento de onda usando a relação da onda eletromagnética:
\lambda=\frac{c}{f},
onde:
  • c é a velocidade da luz no vácuo, que usaremos c=3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
  • f é a frequência (em Hz).
Depois de obter \theta em radianos, é mais prático expressá-la em graus ou minutos de arco (arcmin). As conversões são:
1\\ \mathrm{rad}= \frac{180}{\pi}\\ ^\circ \approx 57{,}2958^\circ, \qquad 1^\circ=60\\ \text{arcmin}.

Passo 3

Converter cada frequência para hertz e calcular o comprimento de onda \lambda.
Para f_1=0{,}408\\ \mathrm{GHz}:
f_1=0{,}408\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}, \qquad \lambda_1=\frac{3{,}0\times10^{8}}{0{,}408\times10^{9}}=0{,}735\\ \mathrm{m}.
Para f_2=1{,}465\\ \mathrm{GHz}:
f_2=1{,}465\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}, \qquad \lambda_2=\frac{3{,}0\times10^{8}}{1{,}465\times10^{9}}\approx0{,}205\\ \mathrm{m}.
Para f_3=2{,}3\\ \mathrm{GHz}:
f_3=2{,}3\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}, \qquad \lambda_3=\frac{3{,}0\times10^{8}}{2{,}3\times10^{9}}\approx0{,}130\\ \mathrm{m}.
Para f_4=5\\ \mathrm{GHz}:
f_4=5{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}, \qquad \lambda_4=\frac{3{,}0\times10^{8}}{5{,}0\times10^{9}}=0{,}060\\ \mathrm{m}.
Para f_5=10\\ \mathrm{GHz}:
f_5=10{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}, \qquad \lambda_5=\frac{3{,}0\times10^{8}}{10{,}0\times10^{9}}=0{,}030\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Aplicar \theta \approx 1{,}22\,\dfrac{\lambda}{D} com D=5{,}5\\ \mathrm{m} para cada \lambda e obter \theta em radianos.
Para f_1:
\theta_1=1{,}22\frac{0{,}735}{5{,}5}=\frac{0{,}8967}{5{,}5}\approx0{,}1629\\ \text{rad}.
Para f_2:
\theta_2=1{,}22\frac{0{,}205}{5{,}5}=\frac{0{,}2501}{5{,}5}\approx0{,}04547\\ \text{rad}.
Para f_3:
\theta_3=1{,}22\frac{0{,}130}{5{,}5}=\frac{0{,}1586}{5{,}5}\approx0{,}02884\\ \text{rad}.
Para f_4:
\theta_4=1{,}22\frac{0{,}060}{5{,}5}=\frac{0{,}0732}{5{,}5}\approx0{,}01331\\ \text{rad}.
Para f_5:
\theta_5=1{,}22\frac{0{,}030}{5{,}5}=\frac{0{,}0366}{5{,}5}\approx0{,}006655\\ \text{rad}.

Passo 5

Converter as resoluções de radianos para graus e minutos de arco para resultados mais intuitivos.
Usando 1\\ \text{rad}\approx57{,}2958^\circ:
Para f_1:
\theta_1\approx0{,}1629\\ \text{rad}\approx0{,}1629\times57{,}2958^\circ\approx9{,}34^\circ.
Em minutos de arco:
9{,}34^\circ\times60\approx560\\ \text{arcmin}.
Para f_2:
\theta_2\approx0{,}04547\\ \text{rad}\approx2{,}60^\circ, \qquad 2{,}60^\circ\times60\approx156\\ \text{arcmin}.
Para f_3:
\theta_3\approx0{,}02884\\ \text{rad}\approx1{,}66^\circ, \qquad 1{,}66^\circ\times60\approx99{,}6\\ \text{arcmin}.
Para f_4:
\theta_4\approx0{,}01331\\ \text{rad}\approx0{,}762^\circ, \qquad 0{,}762^\circ\times60\approx45{,}7\\ \text{arcmin}.
Para f_5:
\theta_5\approx0{,}006655\\ \text{rad}\approx0{,}381^\circ, \qquad 0{,}381^\circ\times60\approx22{,}9\\ \text{arcmin}.
Observação rápida e encorajadora: as resoluções ficam melhores (menor ângulo) para frequências maiores (comprimentos de onda menores). Não se assuste com números grandes em baixas frequências — é normal para radiotelescópios pequenos.

Resposta

0{,}408\\ \mathrm{GHz}:\\ \theta\approx0{,}1629\\ \text{rad}\approx9{,}34^\circ\approx560\\ \text{arcmin}
1{,}465\\ \mathrm{GHz}:\\ \theta\approx0{,}04547\\ \text{rad}\approx2{,}60^\circ\approx156\\ \text{arcmin}
2{,}3\\ \mathrm{GHz}:\\ \theta\approx0{,}02884\\ \text{rad}\approx1{,}66^\circ\approx99{,}6\\ \text{arcmin}
5\\ \mathrm{GHz}:\\ \theta\approx0{,}01331\\ \text{rad}\approx0{,}762^\circ\approx45{,}7\\ \text{arcmin}
10\\ \mathrm{GHz}:\\ \theta\approx0{,}006655\\ \text{rad}\approx0{,}381^\circ\approx22{,}9\\ \text{arcmin}

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