- (2 pts) Resolva o problema de valor inicial (PVI)
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
O que se pede: encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial dada para todo
do intervalo considerado e que verifique a condição inicial
. As informações relevantes são a equação diferencial linear de primeira ordem e a condição inicial no ponto
.
Passo 2
Vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, identificamos claramente
Explicação curta: a forma padrão é apenas escrever o termo com
isolado e o coeficiente de
chamado de
; isso nos permite usar o método do fator integrante.
Passo 3
Apresento o método do fator integrante (explicação didática):
- Para resolver
, define-se o fator integrante por
- A razão: ao multiplicar a equação original por
obtemos no lado esquerdo a derivada do produto , isto é,
Isto transforma a equação diferencial numa forma que pode ser integrada diretamente. Aqui
, então calculamos
.
Passo 4
Calcular o fator integrante no nosso caso:
Multiplicamos a equação original por
:
Usando a observação anterior, reconhecemos o lado esquerdo como derivada:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo a integral anula a derivada, ficando
. No lado direito, calculamos a integral de
:
onde
é a constante de integração. Logo obtemos
Passo 6
Isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Esta é a solução geral da equação diferencial (contendo a constante arbitrária
). Agora aplicamos a condição inicial para determinar
.
Passo 7
Usar a condição inicial
. Substituímos
na solução geral:
Igualando à condição inicial:
Resolvendo para
: