1. (2 pts) Resolva o problema de valor inicial (PVI) y^{\prime}+y=e^{x}, y(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
y'+y=e^{x},\qquad y(0)=1.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial dada para todo x do intervalo considerado e que verifique a condição inicial y(0)=1. As informações relevantes são a equação diferencial linear de primeira ordem e a condição inicial no ponto x=0.

Passo 2

Vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y' + p(x)\,y = q(x).
Aqui, identificamos claramente
p(x)=1\qquad\text{e}\qquad q(x)=e^{x}.
Explicação curta: a forma padrão é apenas escrever o termo com y' isolado e o coeficiente de y chamado de p(x); isso nos permite usar o método do fator integrante.

Passo 3

Apresento o método do fator integrante (explicação didática):
  • Para resolver \;y'+p(x)y=q(x)\;, define-se o fator integrante \mu(x) por
\mu(x)=e^{\displaystyle\int p(x)\,dx}.
  • A razão: ao multiplicar a equação original por \mu(x) obtemos no lado esquerdo a derivada do produto \mu(x)\,y(x), isto é,
\mu y' + \mu p y = \frac{d}{dx}\big(\mu y\big).
Isto transforma a equação diferencial numa forma que pode ser integrada diretamente. Aqui p(x)=1, então calculamos \mu.

Passo 4

Calcular o fator integrante no nosso caso:
\mu(x)=e^{\displaystyle\int 1\,dx}=e^{x}.
Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{x}:
e^{x}y' + e^{x}y = e^{x}\cdot e^{x} = e^{2x}.
Usando a observação anterior, reconhecemos o lado esquerdo como derivada:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{2x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)\,dx = \int e^{2x}\,dx.
No lado esquerdo a integral anula a derivada, ficando e^{x}y. No lado direito, calculamos a integral de e^{2x}:
\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C,
onde C é a constante de integração. Logo obtemos
e^{x}y=\frac{1}{2}e^{2x}+C.

Passo 6

Isolamos y dividindo ambos os lados por e^{x}:
y=\frac{1}{2}e^{x}+C e^{-x}.
Esta é a solução geral da equação diferencial (contendo a constante arbitrária C). Agora aplicamos a condição inicial para determinar C.

Passo 7

Usar a condição inicial y(0)=1. Substituímos x=0 na solução geral:
y(0)=\frac{1}{2}e^{0}+C e^{0}=\frac{1}{2}+C.
Igualando à condição inicial:
\frac{1}{2}+C=1.
Resolvendo para C:
C=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

Resposta

y(x)=\frac{1}{2}e^{x}+\frac{1}{2}e^{-x}

Exercícios relacionados