- (2 pts) Verifique que a edo
é exata e resolva-a.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: verificar se a equação diferencial
é exata e, em caso afirmativo, resolvê‑la (achar a solução geral).\n
Informações dadas e coisas que vamos usar explicitamente:
Informações dadas e coisas que vamos usar explicitamente:
onde a equação está escrita como
.
Passo 2
O que significa ser exata (explicação didática): existe uma função
tal que as derivadas parciais satisfazem
Uma condição prática (válida em domínios simples, sem buracos) é verificar se
Aqui vamos calcular essas derivadas parciais passo a passo.
Passo 3
Calcule
. Trate
como constante e derive
em relação a
:
Expliquei: a derivada de
em relação a
é
(porque
é constante quando derivamos em
) e
desaparece pois não depende de
.
Passo 4
Calcule
. Trate
como constante e derive
em relação a
:
Expliquei: a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 5
Compare as duas derivadas parciais:
Como são iguais em um domínio adequado, a equação diferencial é exata. (Resposta à primeira parte: é exata.)
Passo 6
Método para encontrar a solução: uma vez exata, existe
com
e
. Para achar
integramos
em relação a
, tratando
como constante, e depois ajustamos com uma função arbitrária de
.
Passo 7
Integre
em relação a
:
Como
é constante nessa integração,
e
Portanto, ao integrar obtemos
onde
é uma função arbitrária de
(aparece porque ao integrar em
podemos perder termos que dependem só de
).
Passo 8
Determine
usando a condição
. Calcule
a partir da expressão encontrada:
Devemos ter
. Igualando:
Integre
em relação a
:
onde
é constante. Podemos incorporar
na constante geral da solução final.
Passo 9
Substitua
em
. Obtemos a função potencial (até uma constante)
A solução geral da EDO exata é a curva de nível
constante; assim podemos escrever implicitamente:
onde
é uma constante arbitrária. Se quiser uma forma explícita para
, isolamos
:
válida quando
(ou seja,
); a forma implícita é válida globalmente como solução geral.
Resposta
Sim — a equação é exata.