1. (2 pts) Verifique que a edo \left(3 x^{2} y+\cos x\right) d x+\left(x^{3}+1\right) d y=0 é exata e resolva-a.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: verificar se a equação diferencial
\left(3 x^{2} y+\cos x\right)\,dx+\left(x^{3}+1\right)\,dy=0
é exata e, em caso afirmativo, resolvê‑la (achar a solução geral).\n
Informações dadas e coisas que vamos usar explicitamente:
M(x,y)=3x^{2}y+\cos x, \qquad N(x,y)=x^{3}+1,
onde a equação está escrita como M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.

Passo 2

O que significa ser exata (explicação didática): existe uma função \Phi(x,y) tal que as derivadas parciais satisfazem
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y), \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática (válida em domínios simples, sem buracos) é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui vamos calcular essas derivadas parciais passo a passo.

Passo 3

Calcule \partial M/\partial y. Trate x como constante e derive M(x,y)=3x^{2}y+\cos x em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y}=3x^{2}.
Expliquei: a derivada de 3x^{2}y em relação a y é 3x^{2} (porque 3x^{2} é constante quando derivamos em y) e \cos x desaparece pois não depende de y.

Passo 4

Calcule \partial N/\partial x. Trate y como constante e derive N(x,y)=x^{3}+1 em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x}=3x^{2}.
Expliquei: a derivada de x^{3} é 3x^{2} e a derivada de 1 é 0.

Passo 5

Compare as duas derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=3x^{2}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Como são iguais em um domínio adequado, a equação diferencial é exata. (Resposta à primeira parte: é exata.)

Passo 6

Método para encontrar a solução: uma vez exata, existe \Phi(x,y) com \Phi_x=M e \Phi_y=N. Para achar \Phi integramos M em relação a x, tratando y como constante, e depois ajustamos com uma função arbitrária de y.

Passo 7

Integre M em relação a x:
\Phi(x,y)=\int\big(3x^{2}y+\cos x\big)\,dx.
Como y é constante nessa integração,
\int 3x^{2}y\,dx = y\int 3x^{2}\,dx = y\cdot x^{3},
e
\int \cos x\,dx = \sin x.
Portanto, ao integrar obtemos
\Phi(x,y)=x^{3}y+\sin x + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (aparece porque ao integrar em x podemos perder termos que dependem só de y).

Passo 8

Determine h(y) usando a condição \Phi_{y}=N. Calcule \Phi_{y} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x^{3}+h'(y).
Devemos ter \Phi_{y}=N=x^{3}+1. Igualando:
x^{3}+h'(y)=x^{3}+1 \quad\Rightarrow\quad h'(y)=1.
Integre h'(y)=1 em relação a y:
h(y)=y + C_{0},
onde C_{0} é constante. Podemos incorporar C_{0} na constante geral da solução final.

Passo 9

Substitua h(y) em \Phi. Obtemos a função potencial (até uma constante)
\Phi(x,y)=x^{3}y+\sin x + y + C_{0}.
A solução geral da EDO exata é a curva de nível \Phi(x,y)= constante; assim podemos escrever implicitamente:
x^{3}y+\sin x + y = C,
onde C é uma constante arbitrária. Se quiser uma forma explícita para y, isolamos y:
y=\frac{C-\sin x}{x^{3}+1},
válida quando x^{3}+1\neq 0 (ou seja, x\neq -1); a forma implícita é válida globalmente como solução geral.

Resposta

Sim — a equação é exata.
x^{3}y+\sin x + y = C

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