2,0 pts. Se \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3} são as tensões principais ordenadas \sigma_{1}>, \sigma_{2}>\sigma_{3}, a tensão de cisalhamento máxima absoluta é dada por \tau_{\max }=\left(\sigma_{1}-\sigma_{3}\right) / 2.
a) Verdadeiro.

Passo 1

O enunciado dá que as tensões principais estão ordenadas e satisfazem \sigma_{1}>\sigma_{2}>\sigma_{3}. A afirmação a ser julgada é: “a tensão de cisalhamento máxima absoluta é \tau_{\max}=\dfrac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}”.
Informações relevantes fornecidas:
  • As três tensões principais são \sigma_{1}, \sigma_{2} e \sigma_{3}, ordenadas decrescentemente.
  • A pergunta é se a máxima tensão de cisalhamento absoluta (em qualquer plano) é dada por \dfrac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}.

Passo 2

Conceitos básicos (explicação didática e simples).
  • Tensões principais: são as componentes normais da tensão medidas em direções (ortogonais entre si) onde as componentes de cisalhamento são nulas. Ou seja, numa base de direções principais a matriz do tensor tensão é diagonal com entradas \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}.
  • Tensão de cisalhamento num plano: é a componente tangencial da tração que atua nesse plano. A “tensão de cisalhamento máxima absoluta” significa o maior valor absoluto de cisalhamento que pode aparecer em qualquer plano de material qualquer que seja sua orientação.
    Vou usar um raciocínio geométrico/algebraico simples que costuma aparecer em provas: análise por pares de tensões principais e o uso da transformação de tensões (ou do círculo de Mohr).

Passo 3

Resultado para um par de tensões principais (caso 2D local). Considere duas tensões normais atuando em eixos ortogonais: \sigma_a e \sigma_b, e suponha que o cisalhamento inicial entre esses eixos é nulo (situação de eixos principais). Para uma face inclinada de ângulo \theta (medido a partir do eixo onde age \sigma_a) a tensão tangencial nessa face é dada pela fórmula de transformação:
\tau(\theta)=-\tfrac{\sigma_a-\sigma_b}{2}\sin 2\theta.
Explicando cada termo:
  • \tau(\theta) é a componente de cisalhamento na face orientada por \theta.
  • \sigma_a-\sigma_b é a diferença entre as duas tensões normais nas direções ortogonais.
  • \sin 2\theta vem da geometria da rotação do sistema de referência.
    Para maximizar o valor absoluto de \tau(\theta) varia-se \theta. A função |\sin 2\theta| tem máximo 1, alcançado quando 2\theta=90^\circ (ou \theta=45^\circ). Portanto, o máximo absoluto de cisalhamento entre essas duas direções é
\max_{\theta}|\tau(\theta)|=\frac{|\sigma_a-\sigma_b|}{2}.
Esse cálculo mostra também por que a face que apresenta cisalhamento máximo está inclinada 45^\circ em relação aos eixos principais envolvidos.

Passo 4

Aplicando o resultado a três tensões principais. Em três dimensões, as possíveis diferenças entre pares de tensões principais são \sigma_{1}-\sigma_{2}, \sigma_{2}-\sigma_{3} e \sigma_{1}-\sigma_{3}. Para cada par (\sigma_i,\sigma_j) existe um plano em que o cisalhamento máximo relativo a esse par é \dfrac{|\sigma_i-\sigma_j|}{2}, pelo raciocínio do passo anterior aplicado ao plano formado pelas direções principais i e j. Como as tensões estão ordenadas \sigma_{1}>\sigma_{2}>\sigma_{3}, as diferenças são positivas e temos:
\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2},\qquad \frac{\sigma_{2}-\sigma_{3}}{2},\qquad \frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}.
A máxima tensão de cisalhamento absoluta entre todas as faces possíveis é o maior desses valores, que claramente é \dfrac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2} porque \sigma_{1}-\sigma_{3}>(\sigma_{1}-\sigma_{2}),(\sigma_{2}-\sigma_{3}).

Passo 5

Interpretação física e localização do plano de máxima cisalhamento.
  • A máxima tensão de cisalhamento absoluta ocorre entre as direções de maior e menor tensão principal ( \sigma_{1} e \sigma_{3}).
  • O plano em que essa máxima ocorre é o plano cuja normal forma 45^\circ com as direções dos eixos correspondentes a \sigma_{1} e \sigma_{3}. Em termos do círculo de Mohr, isso corresponde ao maior círculo (diâmetro \sigma_{1}-\sigma_{3}), cuja metade do diâmetro é o raio igual a \dfrac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}.

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para fixar): se \sigma_{1}=100, \sigma_{2}=40, \sigma_{3}=0 (unidades quaisquer), as tensões de cisalhamento máximas por par seriam \tfrac{100-40}{2}=30, \tfrac{40-0}{2}=20 e \tfrac{100-0}{2}=50. O maior é 50, que é \tfrac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}.

Passo 7

Conclusão lógica: a partir do resultado geral para cada par de tensões principais e do fato de que a maior diferença entre pares é \sigma_{1}-\sigma_{3} quando \sigma_{1}>\sigma_{2}>\sigma_{3}, segue-se que a máxima tensão de cisalhamento absoluta é
\tau_{\max}=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}.

Resposta

Verdadeiro.

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