2,0 pts. Se
são as tensões principais ordenadas
, a tensão de cisalhamento máxima absoluta é dada por
.
a) Verdadeiro.
a) Verdadeiro.
Passo 1
O enunciado dá que as tensões principais estão ordenadas e satisfazem
. A afirmação a ser julgada é: “a tensão de cisalhamento máxima absoluta é
”.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- As três tensões principais são
, e , ordenadas decrescentemente. - A pergunta é se a máxima tensão de cisalhamento absoluta (em qualquer plano) é dada por
.
Passo 2
Conceitos básicos (explicação didática e simples).
- Tensões principais: são as componentes normais da tensão medidas em direções (ortogonais entre si) onde as componentes de cisalhamento são nulas. Ou seja, numa base de direções principais a matriz do tensor tensão é diagonal com entradas
, , . - Tensão de cisalhamento num plano: é a componente tangencial da tração que atua nesse plano. A “tensão de cisalhamento máxima absoluta” significa o maior valor absoluto de cisalhamento que pode aparecer em qualquer plano de material qualquer que seja sua orientação.
Vou usar um raciocínio geométrico/algebraico simples que costuma aparecer em provas: análise por pares de tensões principais e o uso da transformação de tensões (ou do círculo de Mohr).
Passo 3
Resultado para um par de tensões principais (caso 2D local). Considere duas tensões normais atuando em eixos ortogonais:
e
, e suponha que o cisalhamento inicial entre esses eixos é nulo (situação de eixos principais). Para uma face inclinada de ângulo
(medido a partir do eixo onde age
) a tensão tangencial nessa face é dada pela fórmula de transformação:
Explicando cada termo:
-
é a componente de cisalhamento na face orientada por . -
é a diferença entre as duas tensões normais nas direções ortogonais. -
vem da geometria da rotação do sistema de referência.
Para maximizar o valor absoluto devaria-se . A função tem máximo , alcançado quando (ou ). Portanto, o máximo absoluto de cisalhamento entre essas duas direções é
Esse cálculo mostra também por que a face que apresenta cisalhamento máximo está inclinada
em relação aos eixos principais envolvidos.
Passo 4
Aplicando o resultado a três tensões principais. Em três dimensões, as possíveis diferenças entre pares de tensões principais são
,
e
. Para cada par
existe um plano em que o cisalhamento máximo relativo a esse par é
, pelo raciocínio do passo anterior aplicado ao plano formado pelas direções principais
e
. Como as tensões estão ordenadas
, as diferenças são positivas e temos:
A máxima tensão de cisalhamento absoluta entre todas as faces possíveis é o maior desses valores, que claramente é
porque
.
Passo 5
Interpretação física e localização do plano de máxima cisalhamento.
- A máxima tensão de cisalhamento absoluta ocorre entre as direções de maior e menor tensão principal (
e ). - O plano em que essa máxima ocorre é o plano cuja normal forma
com as direções dos eixos correspondentes a e . Em termos do círculo de Mohr, isso corresponde ao maior círculo (diâmetro ), cuja metade do diâmetro é o raio igual a .
Passo 6
Exemplo numérico rápido (para fixar): se
,
,
(unidades quaisquer), as tensões de cisalhamento máximas por par seriam
,
e
. O maior é
, que é
.
Passo 7
Conclusão lógica: a partir do resultado geral para cada par de tensões principais e do fato de que a maior diferença entre pares é
quando
, segue-se que a máxima tensão de cisalhamento absoluta é
Resposta
Verdadeiro.