Por um curto período de tempo, a força motriz de atrito que atua sobre os pneus do automóvel de 2,5 \mathrm{Mg} é F_{D}=\left(600 t^{2}\right) \mathrm{N}, onde t é dado em segundos. Se a van tem velocidade de 20 \mathrm{~km} / \mathrm{h} quando t=0, determine sua velocidade quando t=5 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Massa do automóvel: m=2{,}5\\ \mathrm{Mg}.
  • Força motriz (varia com o tempo): F_D(t)=\left(600\,t^{2}\right)\\ \mathrm{N}, onde t está em segundos.
  • Velocidade inicial: v(0)=20\\ \mathrm{km/h} quando t=0.
    O que se pede: determinar a velocidade v(5) no instante t=5\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Primeiro vamos colocar todas as grandezas no SI (unidades do Sistema Internacional) para trabalhar corretamente:
  • Converter a massa: 1\\ \mathrm{Mg}=10^{3}\\ \mathrm{kg}, logo
m=2{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{kg}=2500\\ \mathrm{kg}.
  • Converter a velocidade inicial de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}. A relação é 1\\ \mathrm{km/h}=1/3{,}6\\ \mathrm{m/s}. Assim
v(0)=20\\ \mathrm{km/h}=\frac{20}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s}=5{,}555\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta da fórmula que vamos usar: pela Segunda Lei de Newton, a resultante das forças é igual à massa vezes a aceleração. Como só foi dada uma força motriz variável com o tempo, podemos escrever
F_D(t)=m\,a(t).
Aqui a(t) é a aceleração instantânea (em \mathrm{m/s^{2}}) e v(t) satisfaz a(t)=\dfrac{dv}{dt}. Todas essas relações são essenciais para transformar a força variável em aumento de velocidade.

Passo 3

Da relação a(t)=F_D(t)/m obtemos explicitamente a aceleração como função do tempo:
a(t)=\frac{F_D(t)}{m}=\frac{600\,t^{2}}{m}.
Como a(t)=\dfrac{dv}{dt}, integramos em tempo para obter a variação de velocidade entre t=0 e t=5:
v(5)-v(0)=\int_{0}^{5} a(t)\,dt=\int_{0}^{5}\frac{600\,t^{2}}{m}\,dt.
Explicação do passo de integrar: a aceleração é a derivada da velocidade; integrar a aceleração num intervalo de tempo dá a mudança de velocidade nesse intervalo. Para integrar \,t^{2} usamos a primitiva \dfrac{t^{3}}{3}.

Passo 4

Calculemos a integral substituindo m=2500\\ \mathrm{kg}:
v(5)-v(0)=\frac{600}{2500}\int_{0}^{5}t^{2}\,dt=\frac{600}{2500}\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{5}.
Agora avaliando:
\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{5}=\frac{5^{3}}{3}=\frac{125}{3}.
Portanto
v(5)-v(0)=\frac{600}{2500}\cdot\frac{125}{3}.
Calcule passo a passo os fatores: 600\cdot125=75000 e 75000/(2500\cdot3)=75000/7500=10. Logo a variação de velocidade é
v(5)-v(0)=10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Somando à velocidade inicial (em \mathrm{m/s}):
v(5)=v(0)+10=5{,}555\ldots+10=15{,}555\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Podemos apresentar esse resultado de forma mais limpa como fração exata e também em \mathrm{km/h}:
v(5)=\frac{140}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx15{,}56\\ \mathrm{m/s}.
Convertendo para \mathrm{km/h} (multiplicar por 3{,}6):
v(5)\approx15{,}555\ldots\times3{,}6=56{,}0\\ \mathrm{km/h}.
Pequeno incentivo: pronto — a conta não foi tão assustadora! É só aplicar F=ma, transformar unidades, integrar e somar à velocidade inicial.

Resposta

v(5)=\dfrac{140}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx15{,}56\\ \mathrm{m/s}
v(5)\approx56{,}0\\ \mathrm{km/h}

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