Por um curto período de tempo, a força motriz de atrito que atua sobre os pneus do automóvel de
é
, onde
é dado em segundos. Se a van tem velocidade de
quando
, determine sua velocidade quando
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Massa do automóvel:
. - Força motriz (varia com o tempo):
, onde está em segundos. - Velocidade inicial:
quando .
O que se pede: determinar a velocidadeno instante .
Passo 2
Primeiro vamos colocar todas as grandezas no SI (unidades do Sistema Internacional) para trabalhar corretamente:
- Converter a massa:
, logo
- Converter a velocidade inicial de
para . A relação é . Assim
Explicação curta da fórmula que vamos usar: pela Segunda Lei de Newton, a resultante das forças é igual à massa vezes a aceleração. Como só foi dada uma força motriz variável com o tempo, podemos escrever
Aqui
é a aceleração instantânea (em
) e
satisfaz
. Todas essas relações são essenciais para transformar a força variável em aumento de velocidade.
Passo 3
Da relação
obtemos explicitamente a aceleração como função do tempo:
Como
, integramos em tempo para obter a variação de velocidade entre
e
:
Explicação do passo de integrar: a aceleração é a derivada da velocidade; integrar a aceleração num intervalo de tempo dá a mudança de velocidade nesse intervalo. Para integrar
usamos a primitiva
.
Passo 4
Calculemos a integral substituindo
:
Agora avaliando:
Portanto
Calcule passo a passo os fatores:
e
. Logo a variação de velocidade é
Passo 5
Somando à velocidade inicial (em
):
Podemos apresentar esse resultado de forma mais limpa como fração exata e também em
:
Convertendo para
(multiplicar por
):
Pequeno incentivo: pronto — a conta não foi tão assustadora! É só aplicar
, transformar unidades, integrar e somar à velocidade inicial.