( 6,8 pts) A temperatura de 2,00 mols de um gás ideal t C_{p} monoatômico é aumentada de 15,0{ }^{\circ} \mathrm{C} à pressão constante. Determine (todas as quantidades em joules) (a) o trabalho W realizado pelo gás, (b) a quantidade Q de calor, transferida para o gás, (c) a variação da energia interna do gás.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tirei estes dados diretamente do enunciado):
  • Quantidade de matéria: n=2{,}00 mol.
  • O gás é monoatômico e ideal.
  • A temperatura é aumentada de \Delta T=15{,}0^\circ\mathrm{C} em processo a pressão constante.
  • Pedidos: (a) o trabalho W realizado pelo gás (em joules), (b) a quantidade de calor Q transferida para o gás (em joules), (c) a variação da energia interna \Delta U do gás (em joules).
Observação importante sobre \Delta T: um aumento de 15{,}0^\circ\mathrm{C} corresponde a \Delta T=15{,}0\\ \mathrm{K} (a variação em kelvin tem o mesmo valor numérico que em graus Celsius).

Passo 2

Vamos listar as fórmulas que vamos usar e explicar por que elas valem.
  1. Trabalho a pressão constante: em um processo a pressão constante o trabalho realizado pelo gás é
W = P\,\Delta V.
Usando a equação de estado do gás ideal P V = n R T, uma variação de temperatura \Delta T
P\,\Delta V = n R \Delta T,
portanto, em razão prática:
W = n R \Delta T.
Aqui R é a constante dos gases ideais, R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}. Escrevi essa relação porque é a forma mais direta de calcular W sem precisar conhecer P ou \Delta V separadamente.
  1. Calor a pressão constante: para um gás ideal monoatômico o calor recebido a pressão constante é dado por
Q = n C_{p,m} \Delta T,
onde C_{p,m} é a capacidade calorífica molar a pressão constante (por mol). Explico abaixo como obter C_{p,m} para o gás monoatômico.
  1. Variação da energia interna: para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura e vale
\Delta U = n C_{v,m} \Delta T,
onde C_{v,m} é a capacidade calorífica molar a volume constante.
  1. Relação entre C_{p,m} e C_{v,m}: para qualquer gás ideal vale
C_{p,m} = C_{v,m} + R.

Passo 3

Capacidades molares para gás monoatômico (explicação didática):
  • Um gás monoatômico ideal tem apenas as três energias de translação (uma por direção), portanto a energia interna por mol é \tfrac{3}{2}R T. Isso implica
C_{v,m} = \frac{3}{2}R.
  • Usando C_{p,m}=C_{v,m}+R obtemos
C_{p,m} = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R.
Portanto:
C_{v,m}=\frac{3}{2}R,\qquad C_{p,m}=\frac{5}{2}R.

Passo 4

Calcular o trabalho W.
Usamos a fórmula do Passo 2:
W = n R \Delta T.
Substituindo n=2{,}00 mol, R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} e \Delta T=15{,}0\\ \mathrm{K}:
W = 2{,}00 \times 8{,}314 \times 15{,}0.
Faço as contas passo a passo:
2{,}00\times 8{,}314 = 16{,}628,
16{,}628\times 15{,}0 = 249{,}42\\ \mathrm{J}.
Logo, antes de arredondar:
W = 249{,}42\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular a variação da energia interna \Delta U.
Usamos
\Delta U = n C_{v,m} \Delta T,
com C_{v,m}=\dfrac{3}{2}R. Podemos relacionar com W também, já que W=nR\Delta T, então
\Delta U = n\left(\frac{3}{2}R\right)\Delta T = \frac{3}{2}\,nR\Delta T = \frac{3}{2}W.
Usando o valor numérico de W:
\Delta U = \frac{3}{2}\times 249{,}42 = 374{,}13\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular o calor Q.
Usamos Q = n C_{p,m} \Delta T com C_{p,m}=\dfrac{5}{2}R. Novamente podemos relacionar com W:
Q = n\left(\frac{5}{2}R\right)\Delta T = \frac{5}{2}\,nR\Delta T = \frac{5}{2}W.
Substituindo:
Q = \frac{5}{2}\times 249{,}42 = 623{,}55\\ \mathrm{J}.
Como cheque consistente, a primeira lei da termodinâmica diz Q=\Delta U+W. Verificando:
\Delta U+W = 374{,}13 + 249{,}42 = 623{,}55\\ \mathrm{J},
igual a Q calculado acima — perfeito, conservação de energia confirmada.

Passo 7

Arredondamento e apresentação final (mantendo coerência entre os valores para que Q=\Delta U+W se mantenha ao considerar o mesmo número de casas decimais).
  • Vou manter uma casa decimal para preservar a soma exata dentro do arredondamento apresentado.
    Portanto:
W = 249{,}4\\ \mathrm{J},\qquad \Delta U = 374{,}1\\ \mathrm{J},\qquad Q = 623{,}6\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) W=249{,}4\\ \mathrm{J}
(b) Q=623{,}6\\ \mathrm{J}
(c) \Delta U=374{,}1\\ \mathrm{J}

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