Deduza: C_{V}=\frac{3}{2 R} \mathrm{~J} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K})

Passo 1

O enunciado pede para deduzir o valor do calor molar a volume constante C_{V} que aparece escrito como C_{V}=\frac{3}{2}R (unidade \mathrm{J}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K})).
Informações e símbolos que vamos usar (tudo pego do enunciado implícito e conceitos básicos):
  • C_{V}: calor molar a volume constante (energia necessária para aquecer 1 mol da substância em 1\\ \mathrm{K}, mantendo o volume constante).
  • U: energia interna total do gás.
  • T: temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
  • k_B: constante de Boltzmann (energia por grau Kelvin por molécula).
  • N_A: número de Avogadro (número de moléculas por mol).
  • R: constante universal dos gases, com a relação \;R=N_A k_B.
    O objetivo é mostrar passo a passo por que, para um gás monoatômico ideal (caso padrão), vale \;C_{V}=\dfrac{3}{2}R.

Passo 2

Ideia física e ferramenta principal (explicada devagar): equipartição da energia.
  • A equipartição diz que, para um sistema clássico em equilíbrio térmico, cada grau de liberdade quadrático contribui com energia média \dfrac{1}{2}k_B T por molécula.
  • “Grau de liberdade” é cada modo independente em que a molécula pode armazenar energia (por exemplo, movimentos de translação nas direções x,y,z, rotações, vibrações etc.).
    Explique as constantes:
  • k_B mede energia por temperatura por molécula; numericamente k_B\approx 1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
  • N_A é o número de moléculas por mol; numericamente N_A\approx 6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1}.
  • O produto \;R=N_A k_B é a constante dos gases ideais, com R\approx 8,314\\ \mathrm{J}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}).

Passo 3

Aplicar equipartição ao gás monoatômico: contar graus de liberdade e calcular energia interna por molécula e por mol.
  • Uma molécula monoatômica livre só tem os três movimentos de translação (direções x,y,z). Então o número de graus de liberdade é f=3. (Não há rotação efetiva nem vibração que contribuam classicamente nesse caso simples.)
  • Energia média por molécula dada pela equipartição:
\langle \varepsilon\rangle=\frac{f}{2}k_B T=\frac{3}{2}k_B T.
  • Energia interna por mol (multiplicando por N_A):
U=N_A\langle \varepsilon\rangle=N_A\left(\frac{3}{2}k_B T\right)=\frac{3}{2}N_A k_B T.
  • Usando \;R=N_A k_B, obtemos a forma usual por mol:
U=\frac{3}{2}R T.

Passo 4

Definição de C_{V} e derivação final.
  • Por definição, o calor molar a volume constante é a derivada da energia interna por mol em relação à temperatura, mantendo o volume constante. Para 1 mol:
C_{V}=\frac{dU}{dT}\Big|_{V}.
  • A partir de U=\dfrac{3}{2}R T, derivando em relação a T:
C_{V}=\frac{d}{dT}\left(\frac{3}{2}R T\right)=\frac{3}{2}R.
Isto é exatamente a dedução pedida.

Passo 5

Unidades e valor numérico aproximado (checagem).
  • R tem unidades \mathrm{J}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}). Multiplicando por número adimensional \dfrac{3}{2} mantém as unidades. Portanto C_{V} fica em \mathrm{J}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}).
  • Valor numérico aproximado:
C_{V}=\frac{3}{2}R\approx\frac{3}{2}\cdot 8,314\approx 12,471\\ \mathrm{J}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}),
que normalmente arredondamos para 12,47\\ \mathrm{J}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}).

Passo 6

Comentário prático e lembrete (para a prova, estilo amigo que te anima):
  • Esta dedução vale para um gás ideal monoatômico no regime clássico (temperaturas onde os modos quânticos não estão congelados).
  • Se a questão pedisse um gás diatômico, seguiríamos a mesma rotina: contar f (geralmente f=5 sem vibrações ativas) e obter C_V=\dfrac{f}{2}R.
    Você já tem a receita: contar graus de liberdade, aplicar equipartição e derivar. Dá pra decorar: C_V=(\text{graus de liberdade}/2)\,R. Vai dar certo na prova — respira, concentra e aplica os passos.

Resposta

C_{V}=\dfrac{3}{2}R\approx 12,47\\ \mathrm{J}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K})

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