Um pulso de tensão com duração de 4 s é aplicado a um capacitor de 100 mu F. O pulso é descrito pelas seguintes equações:
Faça um gráfico do pulso de corrente conduzido pelo capacitor durante o intervalo de 4 s .

Passo 1

Resumo rápido do que a gente tem: um capacitor de C = 100 μF recebe um pulso de tensão v(t) durante 4 s, descrito em partes por
v(t)= 5,t^3,,&0<= t<=2, -5,(t-4)^3,,&2<= t<=4, 0,,&fora desse intervalo
O assunto aqui é a relação entre corrente e tensão num capacitor, que é
i(t)=C,dv(t)dt
Para resolver, a gente só precisa saber derivar funções simples (potências e a regra da cadeia).

Passo 2

Vamos escrever a fórmula geral:
i(t)=C,dv(t)dt
Isso vem da definição de capacitor: a corrente é proporcional à taxa de variação da tensão. A derivada é só a “inclinação” de v(t).

Passo 3

Para dvdt=5cdot3,t^2=15,t^2 :
v(t)=5 t³
i(t)=100times10^-6times15,t^2=1,5times10^-3,t^2[A]
Multiplicando por C=100×10⁻⁶ F:

Passo 4

Para dvdt=-5cdot3,(t-4)^2cdot1=-15,(t-4)^2 :
v(t)=−5,(t−4)³. Pela regra da cadeia,
i(t)=100times10^-6timesl[-15,(t-4)^2r]=-1,5times10^-3,(t-4)^2[A]
Então

Passo 5

Para ou , v(t)=0, logo e .
Note que em a corrente pula de (usando a fórmula de 0–2 s) para (fórmula de 2–4 s), porque a derivada de v(t) é descontínua ali.

Passo 6

Gráfico de i(t) entre 0 e 4 s:
  • De 0 a 2 s: uma parábola positiva , começando em 0 A e subindo até .
  • Em : salto instantâneo de para .
  • De 2 a 4 s: uma parábola negativa , partindo de em t=2 e voltando a 0 A em t=4.
  • Fora de [0,4] a corrente vale zero.

Resposta

A corrente i(t) no capacitor é dada por
i(t)= 1,5times10^-3,t^2[A],&0<= t<=2, -1,5times10^-3,(t-4)^2[A],&2<= t<=4, 0,&caso contrário á
O gráfico é uma parábola positiva de 0 a 2 s (0→6 mA), salto para −6 mA em t=2, e depois uma parábola negativa de 2 a 4 s (−6 mA→0).

Exercícios relacionados