Um indutor é constituído de uma bobina de 480 espiras montada em um núcleo com seção reta de
de área e comprimento de entreferro de
. A bobina está conectada diretamente a uma fonte de tensão de 120 V eficaz e 60 Hz . Despreze a resistência da bobina e a indutância de dispersão. Supondo que a relutância da bobina seja desprezível, calcule a força média, em relação ao tempo, que atua sobre o núcleo tendendo a fechar o entreferro. Como essa força iria variar se o comprimento do entreferro fosse dobrado?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma bobina de N=480 espiras montada num núcleo com área A=15 cm² e um entreferro de comprimento g=0,14 mm. Essa bobina está ligada a uma fonte de 120 V (rms) e 60 Hz. A resistência da bobina e a indutância de dispersão são desprezíveis, assim como a relutância do próprio núcleo — ou seja, o maior “ralo” magnético é o entreferro.
Conteúdo: circuito magnético, Lei de Faraday para ligar tensão–fluxo, energia magnética armazenada e cálculo de força a partir da variação da energia (ou direto pela fórmula F=B²A/(2μ₀)).
O que vamos precisar:
Conteúdo: circuito magnético, Lei de Faraday para ligar tensão–fluxo, energia magnética armazenada e cálculo de força a partir da variação da energia (ou direto pela fórmula F=B²A/(2μ₀)).
O que vamos precisar:
- relacionar tensão e fluxo magnético (Lei de Faraday);
- achar a densidade de fluxo B(t);
- usar a expressão da força magnética no entreferro;
- depois calcular a média no tempo e brincar de ver o que ocorre se g dobrar.
Passo 2
Primeiro, vamos obter o fluxo máximo φₘ e a densidade de fluxo máxima Bₘ.
- A Lei de Faraday diz:
v(t) = N·dφ/dt.
Como v(t)=Vₚ·sin(ωt) com Vₚ=√2·120 V e ω=2π·60, integra-se para achar φ(t). - Em regime senoidal estacionário temos diretamente:
φₘ = Vₚ/(N·ω)
Bₘ = φₘ/A.
Em forma de fórmula:
φₘ = \frac{\sqrt{2},V_{\rm rms}}{N,ω},
Bₘ = \frac{φₘ}{A} = \frac{\sqrt{2},V_{\rm rms}}{N,ω,A}.
Passo 3
Vamos pôr números:
V_{\rm rms}=120 V,
N=480,
ω=2π·60;{\rm s}^{-1},
A=15,{\rm cm}2=1{,}5×10{-3};{\rm m}^2.
Calculemos o denominador:
N·ω·A = 480·(2π·60)·1{,}5×10^{-3} ≈ 271{,}4.
Logo
Bₘ = \frac{120\sqrt2}{271{,}4} ≈ 0{,}625;T.
V_{\rm rms}=120 V,
N=480,
ω=2π·60;{\rm s}^{-1},
A=15,{\rm cm}2=1{,}5×10{-3};{\rm m}^2.
Calculemos o denominador:
N·ω·A = 480·(2π·60)·1{,}5×10^{-3} ≈ 271{,}4.
Logo
Bₘ = \frac{120\sqrt2}{271{,}4} ≈ 0{,}625;T.
Passo 4
A força instantânea que “puxa” o núcleo para fechar o entreferro, numa fenda de área A, vale
F(t)=\frac{B(t)^2,A}{2,μ₀}.
Como B(t)=Bₘ·sin(ωt), a média no tempo é
\langle F\rangle = \frac{A}{2μ₀},\langle B^2\rangle
= \frac{A}{2μ₀},\frac{Bₘ^2}{2}
= \frac{A,Bₘ^2}{4,μ₀}.
Substituindo Bₘ e μ₀=4π·10⁻⁷ H/m:
A·Bₘ² ≃1{,}5×10^{-3}·(0{,}625)² ≃5,87×10^{-4},
4μ₀ ≃5,03×10^{-6},
\langle F\rangle ≃ \frac{5,87×10{-4}}{5,03×10{-6}} ≃117;N.
F(t)=\frac{B(t)^2,A}{2,μ₀}.
Como B(t)=Bₘ·sin(ωt), a média no tempo é
\langle F\rangle = \frac{A}{2μ₀},\langle B^2\rangle
= \frac{A}{2μ₀},\frac{Bₘ^2}{2}
= \frac{A,Bₘ^2}{4,μ₀}.
Substituindo Bₘ e μ₀=4π·10⁻⁷ H/m:
A·Bₘ² ≃1{,}5×10^{-3}·(0{,}625)² ≃5,87×10^{-4},
4μ₀ ≃5,03×10^{-6},
\langle F\rangle ≃ \frac{5,87×10{-4}}{5,03×10{-6}} ≃117;N.
Passo 5
Agora, se o entreferro g dobra, a relutância do gap também dobra, então o fluxo φₘ cai pela metade (φ∝1/ℜ e ℜ∝g). Isso faz Bₘ cair pela metade, e como F∝B², a força cai a um quarto do valor original.
Resposta
A força média sobre o núcleo é aproximadamente
Se o comprimento do entreferro for dobrado, essa força cai a um quarto, ou seja, para cerca de 29 N.