1. Uma punção de um tubo maciço com diâmetro de 20 mm é utilizada para abrir furos numa chapa de aço cuja espessura é igual a 5 mm de espessura, exercendo uma força de 12 tf . Calcular a tensão média de cisalhamento que atua na chapa e a tensão média normal de compressão que ocorre no tubo durante a punção. (1.9-3.Timoshenko)
    R: \tau=38,2 \mathrm{kgf} / \mathrm{mm} 2 e σmáx =38,2 \mathrm{kgf} / \mathrm{mm} 2

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas quantidades:
  • Diâmetro do punção: d=20\,\mathrm{mm}.
  • Espessura da chapa: t=5\,\mathrm{mm}.
  • Força aplicada: F=12\,\mathrm{tf}.
    Perguntas:
  1. Calcular a tensão média de cisalhamento que atua na chapa durante a punção.
  2. Calcular a tensão média normal de compressão que ocorre no corpo do punção (tubo maciço) durante a punção.

Passo 2

Entendendo e formulando a tensão média de cisalhamento.
Quando se faz uma punção, o material da chapa é cortado ao longo da circunferência do furo; a área que sofre cisalhamento é a área lateral do anel cortado, dada pelo perímetro do furo vezes a espessura da chapa. Assim:
\tau_{\text{média}}=\dfrac{F}{A_{\text{cis}}},é
onde A_{\text{cis}}= área de cisalhamento = perímetro do furo \times t. O perímetro de um furo circular de diâmetro d é \pi d. Portanto:
A_{\text{cis}}=\pi d\,t.
Agora substituindo os valores numéricos (primeiro converter a força para a mesma unidade conveniente): 1\,\mathrm{tf}=1000\,\mathrm{kgf}, logo
F=12\,\mathrm{tf}=12\times1000=12000\,\mathrm{kgf}.
Calculemos A_{\text{cis}}:
A_{\text{cis}}=\pi\cdot20\cdot5=\pi\cdot100=100\pi\\ \mathrm{mm}^2.
Logo a tensão média de cisalhamento é
\tau_{\text{média}}=\dfrac{12000}{100\pi}=\dfrac{120}{\pi}\\ \mathrm{kgf/mm^2}\approx 38{,}2\\ \mathrm{kgf/mm^2}.é

Passo 3

Entendendo e formulando a tensão média de compressão no punção.
A tensão normal média de compressão no punção é a força dividida pela área da seção transversal do punção que está transmitindo essa força. Para uma punção circular sólida de diâmetro d,
\sigma_{\text{média}}=\dfrac{F}{A_{\text{sec}}},é
com
A_{\text{sec}}=\dfrac{\pi d^{2}}{4}.
Calculemos A_{\text{sec}} com d=20\,\mathrm{mm}:
A_{\text{sec}}=\dfrac{\pi\cdot20^{2}}{4}=\dfrac{\pi\cdot400}{4}=\pi\cdot100=100\pi\\ \mathrm{mm}^2.
Note que, numericamente, A_{\text{sec}}=A_{\text{cis}} para os valores dados. Portanto
\sigma_{\text{média}}=\dfrac{12000}{100\pi}=\dfrac{120}{\pi}\\ \mathrm{kgf/mm^2}\approx 38{,}2\\ \mathrm{kgf/mm^2}.é
Observação didática curta: isso aconteceu porque A_{\text{cis}}=\pi d t e A_{\text{sec}}=\pi d^2/4; são iguais quando t=d/4. Aqui t=5\,\mathrm{mm} e d/4=20/4=5\,\mathrm{mm}, por isso as tensões ficaram iguais.

Passo 4

Resumo das fórmulas e interpretação rápida para usar na prova:
  • Tensão média de cisalhamento ao cortar uma chapa por punção:
\tau_{\text{média}}=\dfrac{F}{\pi d t}.é
  • Tensão média normal de compressão no punção:
\sigma_{\text{média}}=\dfrac{F}{\pi d^{2}/4}.é
Converter sempre a força para a mesma unidade de massa-força usada nas áreas (aqui \mathrm{kgf} e \mathrm{mm}^2). Se preferir em unidades SI (MPa), converter depois: 1\,\mathrm{kgf/mm^2}\approx9{,}80665\,\mathrm{MPa}.

Resposta

\tau_{\text{média}}=38{,}2\\ \mathrm{kgf/mm^2}é
\sigma_{\text{média}}=38{,}2\\ \mathrm{kgf/mm^2}é

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