Um PVI é definido por
, com
. A solução particular
pode ser encontrada pelo método do fator integrante. Qual é o valor de
?
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial e pede o valor de
:
Informações dadas:
- A equação diferencial é de primeira ordem e possui a condição inicial
. - O objetivo é encontrar a solução
e, especificamente, calcular .
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
. Somando
em ambos os lados obtemos:
Aqui:
-
, -
.
Passo 3
Explico o método do fator integrante: para resolver
definimos o fator integrante
A razão é que
. No nosso caso
, então
Isso quer dizer que, multiplicando a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada de
.
Passo 4
Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada de
, logo
Passo 5
Integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Calculamos
por integração por partes. Escolhemos:
Pela fórmula de integração por partes
, obtemos:
(Esse
será absorvido na constante geral
já presente.)
Passo 7
Substituindo de volta em
:
Agrupando e dividindo por
para isolar
:
Reescrevendo de forma compacta:
Passo 8
Usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
na expressão de
:
Assim
. Portanto a solução completa é
Passo 9
Calculamos
substituindo
: