Um PVI é definido por y^{\prime}=-y+e^{-t}+2 t, com y(0)=1. A solução particular y(t) pode ser encontrada pelo método do fator integrante. Qual é o valor de y(1) ?

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial e pede o valor de y(1):
y' = -y + e^{-t} + 2t,\qquad y(0)=1.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é de primeira ordem e possui a condição inicial y(0)=1.
  • O objetivo é encontrar a solução y(t) e, especificamente, calcular y(1).

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem y'+p(t)y=q(t). Somando y em ambos os lados obtemos:
y' + y = e^{-t} + 2t.
Aqui:
  • p(t)=1,
  • q(t)=e^{-t}+2t.

Passo 3

Explico o método do fator integrante: para resolver y'+p(t)y=q(t) definimos o fator integrante
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
A razão é que \mu(t)(y'+p(t)y)=(\mu(t)y)'. No nosso caso p(t)=1, então
\mu(t)=e^{\int 1\,dt}=e^{t}.
Isso quer dizer que, multiplicando a equação por e^{t}, o lado esquerdo se torna a derivada de e^{t}y.

Passo 4

Multiplicamos a equação por e^{t}:
e^{t}y' + e^{t}y = e^{t}e^{-t} + 2t e^{t}.
O lado esquerdo é a derivada de e^{t}y, logo
\bigl(e^{t}y\bigr)' = 1 + 2t e^{t}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em t:
e^{t}y = \int \bigl(1 + 2t e^{t}\bigr)\,dt + C = \int 1\,dt + \int 2t e^{t}\,dt + C = t + \int 2t e^{t}\,dt + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Calculamos \int 2t e^{t}\,dt por integração por partes. Escolhemos:
u=2t,\quad dv=e^{t}dt \quad\Rightarrow\quad du=2dt,\quad v=e^{t}.
Pela fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du, obtemos:
\int 2t e^{t}\,dt = 2t e^{t} - \int 2 e^{t}\,dt = 2t e^{t} - 2 e^{t} + C_1.
(Esse C_1 será absorvido na constante geral C já presente.)

Passo 7

Substituindo de volta em e^{t}y:
e^{t}y = t + \bigl(2t e^{t} - 2 e^{t}\bigr) + C.
Agrupando e dividindo por e^{t} para isolar y:
e^{t}y = 2t e^{t} - 2 e^{t} + t + C
y = 2t - 2 + t e^{-t} + C e^{-t}.
Reescrevendo de forma compacta:
y(t) = 2t - 2 + \bigl(t + C\bigr)e^{-t}.

Passo 8

Usamos a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo t=0 na expressão de y(t):
y(0) = 2\cdot 0 - 2 + (0 + C)e^{0} = -2 + C = 1.
Assim C=3. Portanto a solução completa é
y(t) = 2t - 2 + (t+3)e^{-t}.

Passo 9

Calculamos y(1) substituindo t=1:
y(1) = 2\cdot 1 - 2 + (1+3)e^{-1} = 0 + 4 e^{-1} = \frac{4}{e}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{e}

Exercícios relacionados