Resolva a seguinte equação diferencial linear de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
Informações dadas: a equação é da forma com derivada primeira e termo linear em
; a incógnita é
. O que se pede: encontrar a solução geral
(valendo em intervalos onde a equação está bem definida, ou seja,
).
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
identificando os coeficientes. Comparando com a equação dada, temos
Explicação didática: a forma padrão é útil porque existe uma técnica geral (fator integrante) que transforma a equação numa expressão do tipo derivada de produto, que é fácil de integrar. Não se assuste com
e
: são só funções de
que aparecem multiplicando
e no termo independente, respectivamente.
Passo 3
Apresento a ideia do fator integrante (mu): definimos a função
Motivação e interpretação simples: multiplicando a equação pela função
fazemos com que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. Assim conseguimos integrar diretamente. Agora calculamos
:
Usamos a propriedade do logaritmo e da exponencial:
Como estamos trabalhando em intervalos que não contêm
, podemos escrever simplesmente
(ou
), lembrando que a solução será válida em intervalos onde
ou
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Isso dá
Simplificando o lado direito e o coeficiente do segundo termo obtemos
Agora vemos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Para verificar isso, calculamos a derivada do produto:
que coincide com o lado esquerdo. Portanto temos a equação equivalente e mais simples
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral da derivada do produto é simplesmente o produto, logo
onde
é a constante de integração (real). Observação didática: sempre que integrarmos aparece uma constante arbitrária — isso representa a família de soluções gerais.
Passo 6
Isolamos
multiplicando por
:
Conclusão: a solução geral da equação diferencial é
válida em qualquer intervalo onde
(isto é, em cada intervalo
ou
).
Passo 7
Verificação rápida (útil na hora da prova): derivando
obtemos
Substituindo na equação original:
que confirma que a solução encontrada está correta.