Resolva a seguinte equação diferencial linear de primeira ordem:
\frac{d y}{d x}-\frac{2}{x} y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{d y}{d x}-\frac{2}{x} y = x^{2}.
Informações dadas: a equação é da forma com derivada primeira e termo linear em y; a incógnita é y(x). O que se pede: encontrar a solução geral y(x) (valendo em intervalos onde a equação está bem definida, ou seja, x\neq 0).

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
\frac{d y}{d x} + P(x)\,y = Q(x),
identificando os coeficientes. Comparando com a equação dada, temos
P(x) = -\frac{2}{x},\qquad Q(x)=x^{2}.
Explicação didática: a forma padrão é útil porque existe uma técnica geral (fator integrante) que transforma a equação numa expressão do tipo derivada de produto, que é fácil de integrar. Não se assuste com P e Q: são só funções de x que aparecem multiplicando y e no termo independente, respectivamente.

Passo 3

Apresento a ideia do fator integrante (mu): definimos a função
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Motivação e interpretação simples: multiplicando a equação pela função \mu(x) fazemos com que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)\,y(x). Assim conseguimos integrar diretamente. Agora calculamos \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\Big(\int -\frac{2}{x}\,dx\Big)=\exp\!\big(-2\ln|x|\big).
Usamos a propriedade do logaritmo e da exponencial:
\exp\!\big(-2\ln|x|\big)=|x|^{-2}.
Como estamos trabalhando em intervalos que não contêm 0, podemos escrever simplesmente \mu(x)=x^{-2} (ou \mu(x)=\dfrac{1}{x^{2}}), lembrando que a solução será válida em intervalos onde x>0 ou x<0.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{-2}. Isso dá
x^{-2}\frac{d y}{d x}-\frac{2}{x}\,x^{-2}y = x^{-2}\,x^{2}.
Simplificando o lado direito e o coeficiente do segundo termo obtemos
x^{-2}\frac{d y}{d x}-2x^{-3}y = 1.
Agora vemos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^{-2}y. Para verificar isso, calculamos a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big) = x^{-2}\frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}\big(x^{-2}\big)\,y = x^{-2}\frac{dy}{dx} + (-2)x^{-3}y,
que coincide com o lado esquerdo. Portanto temos a equação equivalente e mais simples
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big)=1.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big)\,dx = \int 1\,dx.
A integral da derivada do produto é simplesmente o produto, logo
x^{-2}y = x + C,
onde C é a constante de integração (real). Observação didática: sempre que integrarmos aparece uma constante arbitrária — isso representa a família de soluções gerais.

Passo 6

Isolamos y multiplicando por x^{2}:
y = x^{2}\big(x + C\big) = x^{3} + Cx^{2}.
Conclusão: a solução geral da equação diferencial é
y(x)=x^{3}+C x^{2},
válida em qualquer intervalo onde x\neq 0 (isto é, em cada intervalo (0,\infty) ou (-\infty,0)).

Passo 7

Verificação rápida (útil na hora da prova): derivando y obtemos
\frac{dy}{dx}=3x^{2}+2Cx.
Substituindo na equação original:
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y = \big(3x^{2}+2Cx\big)-\frac{2}{x}\big(x^{3}+Cx^{2}\big) =3x^{2}+2Cx-2x^{2}-2Cx = x^{2},
que confirma que a solução encontrada está correta.

Resposta

y(x)=x^{3}+C x^{2}

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