Q.1: Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente caso exista. OBS: Não utilize a regra de L’Hôpital e, utilize, ao menos uma vez, os LIMITES FUNDAMENTAIS (trigonométrico e exponencial) e o teorema do CONFRONTO. Não esqueça de justificar suas respostas com as propriedades e os cálculos efetuados. \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{b^{a x}-1}{\operatorname{cossec}(a x)}\right)
Informações e observações importantes que o enunciado dá (e as hipóteses necessárias para que a expressão faça sentido):
A função \operatorname{cossec}(a x) é a co-secante, isto é \operatorname{cossec}(a x)=\csc(a x)=\dfrac{1}{\sin(a x)}.
Para que b^{a x} seja bem definida para pequenos x realistas, toma-se aqui a hipótese natural b>0.
Para evitar que a x seja identicamente zero perto de x=0 (o que tornaria \csc(a x) mal definida), assumimos a\neq0. (Se a=0 a expressão não é bem definida para x próximos de 0.)
Portanto, a tarefa é avaliar o limite sob as hipóteses b>0 e a\neq0.
O enunciado pede explicitamente: não usar regra de L’Hôpital; usar ao menos uma vez os limites fundamentais (trigonométrico e exponencial) e usar o teorema do confronto (squeeze). Vou seguir isso.
Passo 2
Primeiro simplifico a expressão usando \csc(a x)=1/\sin(a x). Assim
Reescrevo o produto de forma que possamos aplicar limites fundamentais:
\bigl(b^{t}-1\bigr)\sin t =\frac{b^{t}-1}{t}\cdot t\sin t.
A ideia será avaliar separadamente o comportamento de \dfrac{b^{t}-1}{t} (onde usarei o limite exponencial fundamental) e de t\sin t (onde usarei o limite trigonométrico e o teorema do confronto).
Passo 5
Recordando a identidade b^{t}=e^{t\ln b}, obtenho
\frac{b^{t}-1}{t}=\frac{e^{t\ln b}-1}{t} =\frac{e^{t\ln b}-1}{t\ln b}\cdot\ln b.
O limite fundamental para a exponencial é
\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Aplicando com u=t\ln b (que tende a 0 quando t\to0), segue
\lim_{t\to0}\frac{b^{t}-1}{t}=\ln b.
Portanto a sequência/função \dfrac{b^{t}-1}{t} tem limite finito \ln b quando t\to0. (Se b=1 então \ln b=0, caso particular que está incluído.)
Passo 6
O limite trigonométrico fundamental é
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1,
o que implica que \sin t é equivalente a t perto de 0. Para mostrar que t\sin t\to0 uso o teorema do confronto (squeeze):
Sabemos que |\sin t|\le 1 para todo t. Então
|t\sin t|\le |t|\cdot|\sin t|\le |t|.
Como \lim_{t\to0}|t|=0, pelo teorema do confronto (squeeze) segue que
\lim_{t\to0}t\sin t=0.
(Outra forma equivalente é usar \sin t\sim t e ver que t\sin t\sim t^2\to0. Aqui usei explicitamente o confronto com |t|.)
Como \dfrac{b^{t}-1}{t} tende a um limite finito (\ln b), e t\sin t\to0, vale a propriedade de que o limite do produto é o produto dos limites (quando estes existem e são finitos). Portanto
sob as hipóteses naturais que usamos: b>0 e a\neq0. Nota: o caso b=1 dá o mesmo resultado (numerador identicamente nulo), e se b\le0 a expressão b^{a x} não está bem definida em geral para pequenos x reais, por isso excluímos esse caso.