Q.1: Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente caso exista. OBS: Não utilize a regra de L’Hôpital e, utilize, ao menos uma vez, os LIMITES FUNDAMENTAIS (trigonométrico e exponencial) e o teorema do CONFRONTO. Não esqueça de justificar suas respostas com as propriedades e os cálculos efetuados.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{b^{a x}-1}{\operatorname{cossec}(a x)}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{b^{a x}-1}{\operatorname{cossec}(a x)}\right).
Informações e observações importantes que o enunciado dá (e as hipóteses necessárias para que a expressão faça sentido):
  • A função \operatorname{cossec}(a x) é a co-secante, isto é \operatorname{cossec}(a x)=\csc(a x)=\dfrac{1}{\sin(a x)}.
  • Para que b^{a x} seja bem definida para pequenos x realistas, toma-se aqui a hipótese natural b>0.
  • Para evitar que a x seja identicamente zero perto de x=0 (o que tornaria \csc(a x) mal definida), assumimos a\neq0. (Se a=0 a expressão não é bem definida para x próximos de 0.)
  • Portanto, a tarefa é avaliar o limite sob as hipóteses b>0 e a\neq0.
O enunciado pede explicitamente: não usar regra de L’Hôpital; usar ao menos uma vez os limites fundamentais (trigonométrico e exponencial) e usar o teorema do confronto (squeeze). Vou seguir isso.

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão usando \csc(a x)=1/\sin(a x). Assim
\frac{b^{a x}-1}{\operatorname{cossec}(a x)}=\bigl(b^{a x}-1\bigr)\sin(a x).
É mais simples trabalhar com o produto acima do que com a fração original.

Passo 3

Faço a mudança de variável direta \,t=a x. Quando x\to0 temos t\to0. Em termos de t a expressão fica
\bigl(b^{a x}-1\bigr)\sin(a x)=\bigl(b^{t}-1\bigr)\sin t,
e o limite pedido é equivalente a
\lim_{t\to0}\bigl(b^{t}-1\bigr)\sin t.

Passo 4

Reescrevo o produto de forma que possamos aplicar limites fundamentais:
\bigl(b^{t}-1\bigr)\sin t =\frac{b^{t}-1}{t}\cdot t\sin t.
A ideia será avaliar separadamente o comportamento de \dfrac{b^{t}-1}{t} (onde usarei o limite exponencial fundamental) e de t\sin t (onde usarei o limite trigonométrico e o teorema do confronto).

Passo 5

Recordando a identidade b^{t}=e^{t\ln b}, obtenho
\frac{b^{t}-1}{t}=\frac{e^{t\ln b}-1}{t} =\frac{e^{t\ln b}-1}{t\ln b}\cdot\ln b.
O limite fundamental para a exponencial é
\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Aplicando com u=t\ln b (que tende a 0 quando t\to0), segue
\lim_{t\to0}\frac{b^{t}-1}{t}=\ln b.
Portanto a sequência/função \dfrac{b^{t}-1}{t} tem limite finito \ln b quando t\to0. (Se b=1 então \ln b=0, caso particular que está incluído.)

Passo 6

O limite trigonométrico fundamental é
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1,
o que implica que \sin t é equivalente a t perto de 0. Para mostrar que t\sin t\to0 uso o teorema do confronto (squeeze):
Sabemos que |\sin t|\le 1 para todo t. Então
|t\sin t|\le |t|\cdot|\sin t|\le |t|.
Como \lim_{t\to0}|t|=0, pelo teorema do confronto (squeeze) segue que
\lim_{t\to0}t\sin t=0.
(Outra forma equivalente é usar \sin t\sim t e ver que t\sin t\sim t^2\to0. Aqui usei explicitamente o confronto com |t|.)

Passo 7

Agora reúno as duas partes. Temos
\frac{b^{t}-1}{t}\xrightarrow[t\to0]{}\ln b\qquad\text{e}\qquad t\sin t\xrightarrow[t\to0]{}0.
Como \dfrac{b^{t}-1}{t} tende a um limite finito ( \ln b), e t\sin t\to0, vale a propriedade de que o limite do produto é o produto dos limites (quando estes existem e são finitos). Portanto
\lim_{t\to0}\frac{b^{t}-1}{t}\cdot t\sin t=(\lim_{t\to0}\frac{b^{t}-1}{t})\cdot(\lim_{t\to0}t\sin t)=\ln b\cdot 0=0.

Passo 8

Voltando à variável x (com t=a x), concluímos que
\lim_{x\to0}\left(\frac{b^{a x}-1}{\operatorname{cossec}(a x)}\right)=0,
sob as hipóteses naturais que usamos: b>0 e a\neq0. Nota: o caso b=1 dá o mesmo resultado (numerador identicamente nulo), e se b\le0 a expressão b^{a x} não está bem definida em geral para pequenos x reais, por isso excluímos esse caso.

Resposta

0

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