Q.1: Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente caso exista. OBS: Não utilize a regra de L’Hôpital e, utilize, ao menos uma vez, os LIMITES FUNDAMENTAIS (trigonométrico e exponencial) e o teorema do CONFRONTO. Não esqueça de justificar suas respostas com as propriedades e os cálculos efetuados. \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\operatorname{sen}(5 x)}{x}\right)^{2 x}
A função é \left(\dfrac{\operatorname{sen}(5x)}{x}\right)^{2x}.
O ponto onde o limite deve ser calculado é x\to 0.
O que se espera: encontrar o valor numérico do limite e justificar usando, pelo menos uma vez, o limite trigonométrico fundamental, um limite exponencial fundamental e o teorema do confronto (squeeze theorem). Não usar L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos estudar o comportamento da base
A(x)=\frac{\operatorname{sen}(5x)}{x}
quando x\to 0. Usamos o limite trigonométrico fundamental
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
Faça a substituição t=5x. Então, quando x\to 0 temos t\to 0 e
Observação sobre a forma: a expressão tem a aparência de uma indeterminação do tipo 5^{0} (pois a base tende a 5 e o expoente 2x tende a 0). Para tratar rigorosamente esse tipo de limite é conveniente aplicar o logaritmo natural e reescrever a expressão como uma exponencial, usando a função exponencial inversa do logaritmo.
Portanto a função x\mapsto \ln\!\big(\tfrac{\operatorname{sen}(5x)}{x}\big) tem limite finito quando x\to 0. Isso implica que essa função é limitada em um pequeno intervalo ao redor de 0: existem \delta>0 e M>0 tais que, para |x|<\delta,
\left|\ln\!\big(\tfrac{\operatorname{sen}(5x)}{x}\big)\right|\le M.
Agora use o teorema do confronto (squeeze theorem) na sequência 2x\cdot \ln(\cdots). Para |x|<\delta,
Aqui explicitamente usamos o teorema do confronto: o produto de x (que tende a 0) por uma função limitada tende a 0.
Passo 5
Voltando à expressão original,
L=\exp(E)=\exp(0)=1.
Para justificar a passagem final com um limite exponencial fundamental: considere o limite clássico
\lim_{t\to 0}\frac{\mathrm{e}^{t}-1}{t}=1,
ou equivalentemente \lim_{t\to 0}\mathrm{e}^{t}=1. Aplicando isso ao t=E (que tende a 0), obtemos \mathrm{e}^{E}\to 1. Assim a exponencial da sequência de expoentes que tende a zero tende a 1. Isso cumpre a exigência de uso de um limite exponencial fundamental.