Q.1: Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente caso exista. OBS: Não utilize a regra de L’Hôpital e, utilize, ao menos uma vez, os LIMITES FUNDAMENTAIS (trigonométrico e exponencial) e o teorema do CONFRONTO. Não esqueça de justificar suas respostas com as propriedades e os cálculos efetuados.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\operatorname{sen}(5 x)}{x}\right)^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para avaliar o limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\operatorname{sen}(5x)}{x}\right)^{2x}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é \left(\dfrac{\operatorname{sen}(5x)}{x}\right)^{2x}.
  • O ponto onde o limite deve ser calculado é x\to 0.
    O que se espera: encontrar o valor numérico do limite e justificar usando, pelo menos uma vez, o limite trigonométrico fundamental, um limite exponencial fundamental e o teorema do confronto (squeeze theorem). Não usar L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos estudar o comportamento da base
A(x)=\frac{\operatorname{sen}(5x)}{x}
quando x\to 0. Usamos o limite trigonométrico fundamental
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
Faça a substituição t=5x. Então, quando x\to 0 temos t\to 0 e
\frac{\operatorname{sen}(5x)}{x}=\frac{\operatorname{sen}(5x)}{5x}\cdot 5.
Pelo limite fundamental,
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{5x}=1,
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\lim_{x\to 0}A(x)=\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{x}=5.
Portanto a base tende a 5 quando x\to 0.

Passo 3

Observação sobre a forma: a expressão tem a aparência de uma indeterminação do tipo 5^{0} (pois a base tende a 5 e o expoente 2x tende a 0). Para tratar rigorosamente esse tipo de limite é conveniente aplicar o logaritmo natural e reescrever a expressão como uma exponencial, usando a função exponencial inversa do logaritmo.
Definimos
L=\lim_{x\to 0}\left(\frac{\operatorname{sen}(5x)}{x}\right)^{2x}.
Se existir, podemos escrever
L=\exp\Big(\lim_{x\to 0} 2x\cdot \ln\!\big(\tfrac{\operatorname{sen}(5x)}{x}\big)\Big),
isto é, calcular primeiro o limite do expoente
E:=\lim_{x\to 0} 2x\cdot \ln\!\big(\tfrac{\operatorname{sen}(5x)}{x}\big)
e então L=\mathrm{e}^{E}. (Aqui foi usada a reescrita a^{b}=\mathrm{e}^{b\ln a}.)

Passo 4

Vamos calcular o limite do expoente E. Já sabemos do Passo 2 que
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{x}=5,
e a função \ln(\cdot) é contínua no ponto 5>0, então
\lim_{x\to 0}\ln\!\big(\tfrac{\operatorname{sen}(5x)}{x}\big)=\ln 5.
Portanto a função x\mapsto \ln\!\big(\tfrac{\operatorname{sen}(5x)}{x}\big) tem limite finito quando x\to 0. Isso implica que essa função é limitada em um pequeno intervalo ao redor de 0: existem \delta>0 e M>0 tais que, para |x|<\delta,
\left|\ln\!\big(\tfrac{\operatorname{sen}(5x)}{x}\big)\right|\le M.
Agora use o teorema do confronto (squeeze theorem) na sequência 2x\cdot \ln(\cdots). Para |x|<\delta,
\left|2x\cdot \ln\!\big(\tfrac{\operatorname{sen}(5x)}{x}\big)\right|\le 2|x|\,M.
Como \lim_{x\to 0}2|x|M=0, pelo confronto segue que
E=\lim_{x\to 0}2x\cdot \ln\!\big(\tfrac{\operatorname{sen}(5x)}{x}\big)=0.
Aqui explicitamente usamos o teorema do confronto: o produto de x (que tende a 0) por uma função limitada tende a 0.

Passo 5

Voltando à expressão original,
L=\exp(E)=\exp(0)=1.
Para justificar a passagem final com um limite exponencial fundamental: considere o limite clássico
\lim_{t\to 0}\frac{\mathrm{e}^{t}-1}{t}=1,
ou equivalentemente \lim_{t\to 0}\mathrm{e}^{t}=1. Aplicando isso ao t=E (que tende a 0), obtemos \mathrm{e}^{E}\to 1. Assim a exponencial da sequência de expoentes que tende a zero tende a 1. Isso cumpre a exigência de uso de um limite exponencial fundamental.

Resposta

1

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