Q10.18 No Exemplo 10.13 (Seção 10.7) a velocidade angular
varia e isto deve significar que existe uma aceleração angular diferente de zero. Porém não existe nenhum torque em torno do eixo de rotação quando as forças que o professor aplica sobre os pesos estão orientadas radialmente para dentro. Então pela Equação (10.6)
deve ser igual a zero. Explique o que existe de errado nesse raciocínio que conduziu a uma contradição aparente.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte situação (resumindo exatamente o que foi dito):
- No Exemplo 10.13 a velocidade angular
do sistema varia com o tempo (ou seja, ). - As forças aplicadas pelo professor sobre os pesos são sempre dirigidas radialmente para dentro (forças puramente radiais).
- Pelo enunciado se concluiu que não existe torque em torno do eixo de rotação (as forças radiais têm braço zero em relação ao eixo).
- A Equação (10.6) citada no enunciado é a relação usual entre torque e aceleração angular:
. - A contradição: como
varia, parece que existe ; mas se a partir de seguiria . Deve-se explicar o erro nesse raciocínio.
Passo 2
Vamos escrever com calma a lei fundamental do momento angular e rever as hipóteses por trás de
.
A definição útil é o momento angular em torno de um eixo:
onde:
-
é o momento angular do sistema em relação ao eixo; -
é o momento de inércia em relação ao mesmo eixo; -
é a velocidade angular.
A lei geral que liga torque externo ao momento angular é
Isto é sempre válido (em relação a um eixo fixo em espaço/inercial). Agora aplique a expressão
e diferencie no tempo usando a regra do produto.
Passo 3
Diferenciando
no tempo obtemos:
Em termos de símbolos comuns:
onde
e
.
Observação importante: a forma simplificada
é válida apenas quando
é constante (ou seja,
). Se
varia com o tempo, aparece o termo extra
.
Passo 4
Agora aplique isso ao caso do enunciado: as forças aplicadas são radiais, logo elas não produzem torque externo em torno do eixo; portanto
. Substituindo na equação geral:
Isolando
,
Isto mostra diretamente que mesmo com
podemos ter
desde que
. Ou seja, variação de
causa variação de
sem necessidade de torque externo.
Passo 5
Interpretação física simples e intuitiva (aquela explicação de amigo que ajuda na prova):
- Se as massas do sistema são puxadas radialmente para dentro, o momento de inércia
diminui ( ). - Como não há torque externo, o momento angular
se conserva: . - Para manter
constante, se diminui então deve aumentar. Isso significa . - A relação matemática desta conservação é exatamente
, equivalente a .
Então não há contradição: o erro do raciocínio original foi assumir a validade de
quando
não é constante.
Passo 6
Um exemplo concreto e numérico (para fixar bem e ajudar na prova):
Considere duas massas
ligadas ao eixo por hastes de comprimento
em lados opostos (momento de inércia
). Se as massas se movem radialmente com velocidade
, então
Usando a fórmula para
com
,
Se
(as massas são puxadas para dentro), então
:
aumenta. Ex.: com
,
e
,
Passo 7
Comentário sobre energia (para evitar outra confusão comum):
- Embora não haja torque externo, a energia rotacional pode mudar. A energia cinética rotacional é
Com conservação de momento angular
constante, pode-se escrever
Se
diminui então
aumenta. A diferença de energia vem do trabalho realizado pelas forças internas (o professor puxa os pesos; ele faz trabalho contra a “força centrífuga” do referencial em rotação), não de um torque externo. Assim tudo é consistente com as leis da mecânica: momento angular conservado, energia alterada por trabalho interno.
Passo 8
Resumo do erro e da solução (em linguagem direta para a prova):
- Erro: aplicar
sem perceber que essa fórmula pressupõe constante. - Correção: a fórmula geral é
. Com pode ocorrer se . Em outras palavras, variação de permite variação de mesmo sem torque externo, por causa da conservação do momento angular.
Resposta
O erro foi usar
sem notar que essa forma exige
constante. A forma geral é
. Com
tem-se
, de modo que se
então
(por exemplo, se
diminui,
aumenta) — portanto não há contradição.