Q10.18 No Exemplo 10.13 (Seção 10.7) a velocidade angular \omega varia e isto deve significar que existe uma aceleração angular diferente de zero. Porém não existe nenhum torque em torno do eixo de rotação quando as forças que o professor aplica sobre os pesos estão orientadas radialmente para dentro. Então pela Equação (10.6) \alpha deve ser igual a zero. Explique o que existe de errado nesse raciocínio que conduziu a uma contradição aparente.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte situação (resumindo exatamente o que foi dito):
  • No Exemplo 10.13 a velocidade angular \omega do sistema varia com o tempo (ou seja, \omega=\omega(t)).
  • As forças aplicadas pelo professor sobre os pesos são sempre dirigidas radialmente para dentro (forças puramente radiais).
  • Pelo enunciado se concluiu que não existe torque em torno do eixo de rotação (as forças radiais têm braço zero em relação ao eixo).
  • A Equação (10.6) citada no enunciado é a relação usual entre torque e aceleração angular: \sum \tau = I \alpha.
  • A contradição: como \omega varia, parece que existe \alpha\neq 0; mas se \sum\tau=0 a partir de \sum \tau = I\alpha seguiria \alpha=0. Deve-se explicar o erro nesse raciocínio.

Passo 2

Vamos escrever com calma a lei fundamental do momento angular e rever as hipóteses por trás de \sum \tau = I \alpha.
A definição útil é o momento angular em torno de um eixo:
L = I \omega,
onde:
  • L é o momento angular do sistema em relação ao eixo;
  • I é o momento de inércia em relação ao mesmo eixo;
  • \omega é a velocidade angular.
A lei geral que liga torque externo ao momento angular é
\sum \tau_{\text{ext}} = \frac{dL}{dt}.
Isto é sempre válido (em relação a um eixo fixo em espaço/inercial). Agora aplique a expressão L=I\omega e diferencie no tempo usando a regra do produto.

Passo 3

Diferenciando L=I\omega no tempo obtemos:
\frac{dL}{dt}=\frac{d}{dt}(I\omega)=I\frac{d\omega}{dt}+\frac{dI}{dt}\,\omega.
Em termos de símbolos comuns:
\sum \tau_{\text{ext}} = I\alpha + \dot I\,\omega,
onde \alpha=\dot\omega e \dot I=dI/dt.
Observação importante: a forma simplificada
\sum \tau_{\text{ext}} = I\alpha
é válida apenas quando I é constante (ou seja, \dot I=0). Se I varia com o tempo, aparece o termo extra \dot I\,\omega.

Passo 4

Agora aplique isso ao caso do enunciado: as forças aplicadas são radiais, logo elas não produzem torque externo em torno do eixo; portanto \sum \tau_{\text{ext}}=0. Substituindo na equação geral:
0 = I\alpha + \dot I\,\omega.
Isolando \alpha,
\alpha = -\frac{\dot I}{I}\,\omega.
Isto mostra diretamente que mesmo com \sum \tau_{\text{ext}}=0 podemos ter \alpha\neq 0 desde que \dot I\neq 0. Ou seja, variação de I causa variação de \omega sem necessidade de torque externo.

Passo 5

Interpretação física simples e intuitiva (aquela explicação de amigo que ajuda na prova):
  • Se as massas do sistema são puxadas radialmente para dentro, o momento de inércia I diminui ( \dot I<0).
  • Como não há torque externo, o momento angular L=I\omega se conserva: L=\text{const}.
  • Para manter L constante, se I diminui então \omega deve aumentar. Isso significa \alpha>0.
  • A relação matemática desta conservação é exatamente I\alpha + \dot I\,\omega=0, equivalente a dL/dt=0.
Então não há contradição: o erro do raciocínio original foi assumir a validade de \sum\tau=I\alpha quando I não é constante.

Passo 6

Um exemplo concreto e numérico (para fixar bem e ajudar na prova):
Considere duas massas m ligadas ao eixo por hastes de comprimento r em lados opostos (momento de inércia I=2mr^2). Se as massas se movem radialmente com velocidade \dot r, então
\dot I = \frac{d}{dt}(2m r^2)=4 m r \dot r.
Usando a fórmula para \alpha com \sum\tau_{\text{ext}}=0,
\alpha = -\frac{\dot I}{I}\,\omega = -\frac{4 m r \dot r}{2 m r^2}\,\omega = -\frac{2\dot r}{r}\,\omega.
Se \dot r<0 (as massas são puxadas para dentro), então \alpha>0: \omega aumenta. Ex.: com r=1, \dot r=-0,1 e \omega=1,
\alpha = -\frac{2(-0,1)}{1}\cdot 1 = 0,2\\ \text{(unidades)}.

Passo 7

Comentário sobre energia (para evitar outra confusão comum):
  • Embora não haja torque externo, a energia rotacional pode mudar. A energia cinética rotacional é
K = \tfrac{1}{2} I \omega^2.
Com conservação de momento angular L=I\omega constante, pode-se escrever
K = \frac{L^2}{2I}.
Se I diminui então K aumenta. A diferença de energia vem do trabalho realizado pelas forças internas (o professor puxa os pesos; ele faz trabalho contra a “força centrífuga” do referencial em rotação), não de um torque externo. Assim tudo é consistente com as leis da mecânica: momento angular conservado, energia alterada por trabalho interno.

Passo 8

Resumo do erro e da solução (em linguagem direta para a prova):
  • Erro: aplicar \sum \tau = I\alpha sem perceber que essa fórmula pressupõe I constante.
  • Correção: a fórmula geral é \sum\tau = I\alpha + \dot I\,\omega. Com \sum\tau=0 pode ocorrer \alpha\neq0 se \dot I\neq0. Em outras palavras, variação de I permite variação de \omega mesmo sem torque externo, por causa da conservação do momento angular.

Resposta

O erro foi usar \sum \tau = I\alpha sem notar que essa forma exige I constante. A forma geral é \sum \tau = \dfrac{dL}{dt}=I\alpha+\dot I\,\omega. Com \sum\tau=0 tem-se I\alpha+\dot I\,\omega=0, de modo que se \dot I\neq0 então \alpha\neq0 (por exemplo, se I diminui, \omega aumenta) — portanto não há contradição.

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