Q10.15 Você está em pé no centro de um carrossel horizontal que gira em um parque de diversões. O carrossel gira sobre apoios sem atrito, e sua rotação é livre (ou seja, não existe nenhum motor fazendo o carrossel girar). Quando você caminha até a periferia do carrossel, diga o que ocorre com o momento angular total do sistema constituído por você junto com o carrossel. O que ocorre com a velocidade angular do carrossel? Explique suas respostas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Informações dadas:
- Há um carrossel horizontal que gira livremente sobre apoios sem atrito (ou seja, nenhum torque externo atuando sobre o sistema carrossel + pessoa na direção vertical).
- Inicialmente você está em pé no centro do carrossel e o conjunto está girando com alguma velocidade angular inicial (pode ser zero ou não).
- Você caminha do centro até a periferia do carrossel.
- Perguntas:
- O que ocorre com o momento angular total do sistema constituído por você junto com o carrossel?
- O que ocorre com a velocidade angular do carrossel quando você caminha até a periferia?
Passo 2
Vamos entender o que é momento angular e momento de inércia, porque isso vai explicar tudo passo a passo.
- Momento angular: para um corpo rígido que gira com velocidade angular
em torno de um eixo fixo, o momento angular é dado por
onde
é o momento angular,
é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação e
é a velocidade angular.
- Momento de inércia: mede “quão difícil é” mudar a rotação do corpo; depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo. Para um ponto de massa
a uma distância do eixo,
- Para o sistema carro + pessoa, o momento de inércia total é a soma dos momentos de inércia das partes:
Passo 3
Princípio de conservação importante:
- Se o torque externo resultante sobre um sistema for zero, então o momento angular total do sistema é conservado (não muda com o tempo). Em símbolos:
- No enunciado está explícito que os apoios são sem atrito e a rotação é livre, logo podemos considerar que não há torque externo significativo atuando sobre o sistema na direção do eixo: portanto o momento angular total do sistema pessoa+carrossel é conservado.
Passo 4
Aplicando conservação do momento angular ao processo de você caminhar do centro para a periferia:
- Denotemos
e as as velocidades angulares do conjunto antes e depois de você caminhar, respectivamente. - Denotemos
e as as distâncias da sua massa ao eixo antes e depois do deslocamento. (Se você está exatamente no centro inicialmente, então .) - O momento de inércia total antes e depois são
onde
é o momento de inércia do carrossel.
- Conservação do momento angular dá
- Resolvendo para
:
- Se
(você partiu do centro), essa expressão fica
Passo 5
Interpretação direta das fórmulas:
- Como
é maior do que (porque ), o quociente é menor que . Portanto
- Conclusão física: quando você caminha para a periferia a distribuição de massa do sistema fica mais afastada do eixo, aumentando o momento de inércia total; para manter o momento angular total constante, a velocidade angular do conjunto (ou seja, do carrossel e da pessoa quando estiverem novamente girando juntos) diminui.
Passo 6
Observações físicas adicionais (úteis para prova):
- O momento angular total do sistema pessoa+carrossel permanece constante durante todo o processo porque não há torque externo (apoios sem atrito). Portanto, a resposta à primeira pergunta é: o momento angular total é conservado.
- A velocidade angular do carrossel diminui quando você vai para a periferia. A razão é exatamente a relação acima:
. - Energia cinética rotacional nem sempre se conserva nesse processo: a energia cinética rotacional do sistema muda porque
, e aumentando faz diminuir. A diferença de energia é trocada pela energia do seu movimento relativo ao carrossel e por trabalho/forças internas (por exemplo, você faz/recebe trabalho enquanto se desloca); portanto conservação de energia mecânica não é garantida aqui, mas a conservação do momento angular sim.
Passo 7
Exemplo numérico rápido (apenas para sentir a escala, não é pedido):
- Se
for moderado e não for desprezível, a diminuição de pode ser perceptível. Por exemplo, se , e , então
ou seja, a velocidade angular cairia bastante. (Esse cálculo serve só para intuição; valores reais dependem de
,
e
.)
Resposta
O momento angular total do sistema pessoa+carrossel é conservado (permanece constante).
A velocidade angular do carrossel diminui; em particular
A velocidade angular do carrossel diminui; em particular
e, se
,