Q10.15 Você está em pé no centro de um carrossel horizontal que gira em um parque de diversões. O carrossel gira sobre apoios sem atrito, e sua rotação é livre (ou seja, não existe nenhum motor fazendo o carrossel girar). Quando você caminha até a periferia do carrossel, diga o que ocorre com o momento angular total do sistema constituído por você junto com o carrossel. O que ocorre com a velocidade angular do carrossel? Explique suas respostas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações dadas:
    • Há um carrossel horizontal que gira livremente sobre apoios sem atrito (ou seja, nenhum torque externo atuando sobre o sistema carrossel + pessoa na direção vertical).
    • Inicialmente você está em pé no centro do carrossel e o conjunto está girando com alguma velocidade angular inicial (pode ser zero ou não).
    • Você caminha do centro até a periferia do carrossel.
  • Perguntas:
    1. O que ocorre com o momento angular total do sistema constituído por você junto com o carrossel?
    2. O que ocorre com a velocidade angular do carrossel quando você caminha até a periferia?

Passo 2

Vamos entender o que é momento angular e momento de inércia, porque isso vai explicar tudo passo a passo.
  • Momento angular: para um corpo rígido que gira com velocidade angular \omega em torno de um eixo fixo, o momento angular é dado por
L = I\,\omega,
onde L é o momento angular, I é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação e \omega é a velocidade angular.
  • Momento de inércia: mede “quão difícil é” mudar a rotação do corpo; depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo. Para um ponto de massa m a uma distância r do eixo,
I_{\text{ponto}} = m r^2.
  • Para o sistema carro + pessoa, o momento de inércia total é a soma dos momentos de inércia das partes:
I_{\text{tot}} = I_{\text{carrossel}} + I_{\text{pessoa}}.

Passo 3

Princípio de conservação importante:
  • Se o torque externo resultante sobre um sistema for zero, então o momento angular total do sistema é conservado (não muda com o tempo). Em símbolos:
\sum \tau_{\text{externo}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dL_{\text{tot}}}{dt}=0 \quad\Rightarrow\quad L_{\text{tot}}=\text{constante}.
  • No enunciado está explícito que os apoios são sem atrito e a rotação é livre, logo podemos considerar que não há torque externo significativo atuando sobre o sistema na direção do eixo: portanto o momento angular total do sistema pessoa+carrossel é conservado.

Passo 4

Aplicando conservação do momento angular ao processo de você caminhar do centro para a periferia:
  • Denotemos \omega_i e \omega_f as as velocidades angulares do conjunto antes e depois de você caminhar, respectivamente.
  • Denotemos r_i e r_f as as distâncias da sua massa m ao eixo antes e depois do deslocamento. (Se você está exatamente no centro inicialmente, então r_i=0.)
  • O momento de inércia total antes e depois são
I_i = I_c + m r_i^2, \qquad I_f = I_c + m r_f^2,
onde I_c é o momento de inércia do carrossel.
  • Conservação do momento angular dá
I_i\,\omega_i = I_f\,\omega_f.
  • Resolvendo para \omega_f:
\omega_f = \dfrac{I_i}{I_f}\,\omega_i = \dfrac{I_c + m r_i^2}{I_c + m r_f^2}\,\omega_i.
  • Se r_i=0 (você partiu do centro), essa expressão fica
\omega_f = \dfrac{I_c}{I_c + m r_f^2}\,\omega_i.

Passo 5

Interpretação direta das fórmulas:
  • Como I_f = I_c + m r_f^2 é maior do que I_i = I_c + m r_i^2 (porque r_f>r_i), o quociente \dfrac{I_i}{I_f} é menor que 1. Portanto
\omega_f < \omega_i.
  • Conclusão física: quando você caminha para a periferia a distribuição de massa do sistema fica mais afastada do eixo, aumentando o momento de inércia total; para manter o momento angular total constante, a velocidade angular do conjunto (ou seja, do carrossel e da pessoa quando estiverem novamente girando juntos) diminui.

Passo 6

Observações físicas adicionais (úteis para prova):
  • O momento angular total do sistema pessoa+carrossel permanece constante durante todo o processo porque não há torque externo (apoios sem atrito). Portanto, a resposta à primeira pergunta é: o momento angular total é conservado.
  • A velocidade angular do carrossel diminui quando você vai para a periferia. A razão é exatamente a relação acima: \omega_f = \dfrac{I_i}{I_f}\,\omega_i.
  • Energia cinética rotacional nem sempre se conserva nesse processo: a energia cinética rotacional do sistema muda porque K=\dfrac12 I\omega^2=\dfrac{L^2}{2I}, e aumentando I faz K diminuir. A diferença de energia é trocada pela energia do seu movimento relativo ao carrossel e por trabalho/forças internas (por exemplo, você faz/recebe trabalho enquanto se desloca); portanto conservação de energia mecânica não é garantida aqui, mas a conservação do momento angular sim.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (apenas para sentir a escala, não é pedido):
  • Se I_c for moderado e m r_f^2 não for desprezível, a diminuição de \omega pode ser perceptível. Por exemplo, se I_c=100\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2, m=70\\ \text{kg} e r_f=2\\ \text{m}, então
\omega_f = \frac{100}{100 + 70\cdot 2^2}\,\omega_i = \frac{100}{100+280}\,\omega_i=\frac{100}{380}\,\omega_i\approx 0{,}263\,\omega_i,
ou seja, a velocidade angular cairia bastante. (Esse cálculo serve só para intuição; valores reais dependem de I_c, m e r_f.)

Resposta

O momento angular total do sistema pessoa+carrossel é conservado (permanece constante).
A velocidade angular do carrossel diminui; em particular
\omega_f=\dfrac{I_c + m r_i^2}{I_c + m r_f^2}\,\omega_i,
e, se r_i=0,
\omega_f=\dfrac{I_c}{I_c + m r_f^2}\,\omega_i < \omega_i.

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