Q10.24 Um giroscópio leva
para fazer uma precessão de 1,0 revolução em torno de um eixo vertical. Dois minutos depois ele leva
para fazer uma precessão de 1,0 revolução. Ninguém tocou no giroscópio. Explique o que ocorreu.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Um giroscópio faz uma precessão de uma volta em
. - Dois minutos depois (sem ninguém tocar no giroscópio) a precessão de uma volta passa a levar
.
A pergunta é: explicar o que ocorreu para que o tempo de precessão mudasse assim, sem contato externo.
Passo 2
Vamos lembrar da lei básica que liga torque e momento angular. Para um corpo rígido:
onde
é o torque resultante (vetor), e
é o momento angular do giroscópio (vetor). Aqui:
-
é basicamente o momento angular de rotação em torno do eixo do rotor (espinho do giroscópio); -
é o torque gravitacional que tende a girar o eixo para baixo (se o eixo estiver inclinado), geralmente de módulo quando a alavanca e massa permanecem constantes.
Para precessão uniforme (situação estável comum em giroscópios), o vetor
gira ao redor do eixo vertical com velocidade angular de precessão
. Nesse caso a taxa de variação de
tem módulo
(porque
apenas gira, mantendo módulo aproximado). Assim a relação de magnitudes é
Passo 3
A relação entre velocidade angular de precessão
e período de precessão
é a usual:
Juntando com
obtemos a fórmula que liga período de precessão, torque e momento angular:
Aqui:
-
é o período de uma volta de precessão (o que o enunciado deu: e ); -
é o módulo do momento angular de rotação do rotor; -
é o módulo do torque gravitacional (se massa, g e braço não mudarem, é constante).
Portanto, se
é constante,
é diretamente proporcional a
: reduzir
reduz
na mesma proporção.
Passo 4
Comparando os dois períodos fornecidos:
Calcula-se a razão
Como
é proporcional a
(assumindo
constante), segue que
Ou seja, o momento angular de rotação do rotor diminuiu para metade do valor inicial.
Passo 5
O que pode reduzir
sem que ninguém toque no giroscópio? O momento angular do rotor é
, onde
é o momento de inércia do rotor (fixo) e
é a velocidade angular de spin do rotor. Assim, reduzir
significa que a velocidade de rotação
do rotor diminuiu pela metade. Causas físicas típicas, sem contato direto, são:
- atrito nos mancais/rolamentos;
- resistência do ar sobre o rotor;
esses efeitos aplicam um pequeno torque dissipativo contrário ao giro do rotor, fazendo-o perder velocidade de rotação ao longo do tempo e transformando energia de rotação em calor.
Como o torque gravitacional
(que produz a precessão) permaneceu essencialmente o mesmo (massa, braço e gravidade não mudaram), a queda de
fez a precessão ficar mais rápida:
aumentou, reduzindo o período de
para
.
Passo 6
Resumo físico e fechamento: o giroscópio não foi tocado, mas o rotor foi perdendo momento angular por atrito (ou resistência do ar), fazendo sua velocidade de spin cair a ponto de
ficar pela metade. Com
constante, a velocidade de precessão
dobrou, portanto o tempo de uma volta de precessão caiu à metade.
Resposta
O momento angular de rotação
do rotor diminuiu para metade (provavelmente por atrito nos mancais ou resistência do ar), e como
com
aproximadamente constante, a precessão passou a ocorrer duas vezes mais rápida, reduzindo o período de
para
.