Q10.24 Um giroscópio leva 3,8 \mathrm{~s} para fazer uma precessão de 1,0 revolução em torno de um eixo vertical. Dois minutos depois ele leva 1,9 \mathrm{~s} para fazer uma precessão de 1,0 revolução. Ninguém tocou no giroscópio. Explique o que ocorreu.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Um giroscópio faz uma precessão de uma volta em T_1 = 3,8\\ \mathrm{s}.
  • Dois minutos depois (sem ninguém tocar no giroscópio) a precessão de uma volta passa a levar T_2 = 1,9\\ \mathrm{s}.
    A pergunta é: explicar o que ocorreu para que o tempo de precessão mudasse assim, sem contato externo.

Passo 2

Vamos lembrar da lei básica que liga torque e momento angular. Para um corpo rígido:
\vec{\tau}=\dfrac{d\vec{L}}{dt},
onde \vec{\tau} é o torque resultante (vetor), e \vec{L} é o momento angular do giroscópio (vetor). Aqui:
  • \vec{L} é basicamente o momento angular de rotação em torno do eixo do rotor (espinho do giroscópio);
  • \vec{\tau} é o torque gravitacional que tende a girar o eixo para baixo (se o eixo estiver inclinado), geralmente de módulo \tau = m g r quando a alavanca e massa permanecem constantes.
Para precessão uniforme (situação estável comum em giroscópios), o vetor \vec{L} gira ao redor do eixo vertical com velocidade angular de precessão \Omega. Nesse caso a taxa de variação de \vec{L} tem módulo |d\vec{L}/dt| = \Omega L (porque \vec{L} apenas gira, mantendo módulo aproximado). Assim a relação de magnitudes é
\tau = \Omega L.

Passo 3

A relação entre velocidade angular de precessão \Omega e período de precessão T é a usual:
\Omega = \dfrac{2\pi}{T}.
Juntando com \tau=\Omega L obtemos a fórmula que liga período de precessão, torque e momento angular:
\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{\tau}{L} \qquad\Longrightarrow\qquad T = \dfrac{2\pi L}{\tau}.
Aqui:
  • T é o período de uma volta de precessão (o que o enunciado deu: 3,8\\ \mathrm{s} e 1,9\\ \mathrm{s});
  • L é o módulo do momento angular de rotação do rotor;
  • \tau é o módulo do torque gravitacional (se massa, g e braço r não mudarem, \tau é constante).
Portanto, se \tau é constante, T é diretamente proporcional a L: reduzir L reduz T na mesma proporção.

Passo 4

Comparando os dois períodos fornecidos:
T_1 = 3,8\\ \mathrm{s},\qquad T_2 = 1,9\\ \mathrm{s}.
Calcula-se a razão
\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{1,9}{3,8}=\dfrac{1}{2}.
Como T é proporcional a L (assumindo \tau constante), segue que
\dfrac{L_2}{L_1}=\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{1}{2}.
Ou seja, o momento angular de rotação do rotor diminuiu para metade do valor inicial.

Passo 5

O que pode reduzir L sem que ninguém toque no giroscópio? O momento angular do rotor é L=I\omega_s, onde I é o momento de inércia do rotor (fixo) e \omega_s é a velocidade angular de spin do rotor. Assim, reduzir L significa que a velocidade de rotação \omega_s do rotor diminuiu pela metade. Causas físicas típicas, sem contato direto, são:
  • atrito nos mancais/rolamentos;
  • resistência do ar sobre o rotor;
    esses efeitos aplicam um pequeno torque dissipativo contrário ao giro do rotor, fazendo-o perder velocidade de rotação ao longo do tempo e transformando energia de rotação em calor.
Como o torque gravitacional \tau (que produz a precessão) permaneceu essencialmente o mesmo (massa, braço e gravidade não mudaram), a queda de L fez a precessão ficar mais rápida: \Omega=\tau/L aumentou, reduzindo o período de 3,8\\ \mathrm{s} para 1,9\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Resumo físico e fechamento: o giroscópio não foi tocado, mas o rotor foi perdendo momento angular por atrito (ou resistência do ar), fazendo sua velocidade de spin cair a ponto de L ficar pela metade. Com \tau constante, a velocidade de precessão \Omega dobrou, portanto o tempo de uma volta de precessão caiu à metade.

Resposta

O momento angular de rotação L do rotor diminuiu para metade (provavelmente por atrito nos mancais ou resistência do ar), e como \Omega=\tau/L com \tau aproximadamente constante, a precessão passou a ocorrer duas vezes mais rápida, reduzindo o período de 3,8\\ \mathrm{s} para 1,9\\ \mathrm{s}.

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