Q10.20 Conforme discutimos na Seção 10.7, o momento angular de uma acrobata no circo se conserva à medida que ela se move através do ar. Seu momento linear se conserva? Explique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se o momento linear de uma acrobata em queda através do ar se conserva, sabendo que o momento angular dela se conserva. Informação dada explicitamente ou implicitamente:
  • A acrobata está se movendo através do ar (ou seja, está no ar, sem apoio).
  • Foi afirmado que o momento angular se conserva enquanto ela se move.
    A pergunta a responder: o momento linear se conserva? Preciso explicar por quê (ou por que não).

Passo 2

Recordando a definição e a condição de conservação do momento linear (uma mini-aula):
  • O momento linear de um sistema é o vetor \vec{p} definido por \vec{p}=\sum_i m_i \vec{v}_i, onde m_i e \vec{v}_i são as massas e velocidades das partes do sistema.
  • A lei fundamental que liga força e momento linear é a Segunda Lei de Newton para o sistema:
\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}_{\text{ext}},
onde \vec{F}_{\text{ext}} é a força resultante (vetor) externa total que age sobre o sistema.
  • Consequência: o momento linear total \vec{p} é conservado (isto é, \dfrac{d\vec p}{dt}=0) se e somente se a força externa resultante for nula:
\vec{F}_{\text{ext}}=\vec{0}\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{d\vec p}{dt}=\vec{0}.
Explicando cada símbolo: d\vec p/dt é a taxa de variação temporal do momento linear total; \vec{F}_{\text{ext}} é a soma vetorial de todas as forças que vêm de fora do corpo (gravidade, resistência do ar, empuxos, reações externas etc.).

Passo 3

Aplicando isso à acrobata (identificando as forças externas):
  • Quando a acrobata está no ar, as forças externas principais são:
    • o peso (\text{força gravitacional})ç \;m\vec{g}, apontando para baixo;
    • a resistência do ar (força de arrasto) \;\vec{F}_{\text{ar}}, que geralmente depende da velocidade e pode ter componentes horizontais e verticais.
  • Logo, a força externa resultante é, em geral,
\vec{F}_{\text{ext}}=m\vec{g}+\vec{F}_{\text{ar}}.
  • Essa soma não é nula: mesmo se desprezarmos a resistência do ar ( \vec{F}_{\text{ar}}\approx\vec{0}), resta o peso m\vec{g}\neq\vec{0}. Assim, \vec{F}_{\text{ext}}\neq\vec{0} e portanto
\frac{d\vec p}{dt}\neq\vec{0}.
  • Conclusão instantânea (sem ainda entrar na comparação com o momento angular): o momento linear total da acrobata não é conservado porque existem forças externas não nulas atuando (principalmente o peso).

Passo 4

Por que então o momento angular pode ser conservado enquanto o momento linear não é? (mini-aula sobre torque e momento angular)
  • Definição do momento angular total do sistema em relação a um ponto de referência: \vec{L}=\sum_i \vec{r}_i\times m_i\vec{v}_i, onde \vec{r}_i é o vetor posição da partícula i relativo ao ponto escolhido.
  • A relação dinâmica análoga é
\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{\tau}_{\text{ext}},
onde \vec{\tau}_{\text{ext}} é o momento (torque) total das forças externas em relação ao mesmo ponto.
  • Se \vec{\tau}_{\text{ext}}=\vec{0}, então \vec{L} é conservado.
  • No caso da acrobata costuma-se tomar o ponto de referência como o centro de massa (CM). A força peso age sobre cada partícula, mas a soma dos torques da gravidade em torno do CM é
\sum_i \vec{r}_i\times m_i\vec{g}=\Big(\sum_i m_i\vec{r}_i\Big)\times\vec{g} = M\vec{r}_{\text{CM}}\times\vec{g},
e, medindo as \vec{r}_i em relação ao CM, tem-se \vec{r}_{\text{CM}}=\vec{0}, logo o torque resultante da gravidade em relação ao CM é zero. Portanto a gravidade não produz torque em torno do CM.
  • Se as forças aerodinâmicas também produzem torque desprezível (ou se considerarmos o caso idealizado sem arrasto), então \vec{\tau}_{\text{ext}}\approx\vec{0} e \vec{L} em torno do CM se conserva. Isso explica por que a acrobata pode puxar os braços e acelerar a rotação — ela altera o momento de inércia interno, mas mantém \vec{L} constante.

Passo 5

Comentário sobre componentes de \vec{p} e aproximações úteis (prático para prova):
  • Mesmo que o momento linear total não seja conservado no vetor geral (porque m\vec{g}\neq\vec{0}), é comum que a componente horizontal do momento linear seja aproximadamente conservada se desprezarmos a resistência do ar, pois o peso é vertical e não altera a componente horizontal:
\frac{d p_x}{dt}=F_{\text{ext},x}\approx 0 \quad\text{se}\quad F_{\text{ar},x}\approx 0.
  • Já a componente vertical p_y muda continuamente por causa do peso: \dfrac{d p_y}{dt}= -mg + F_{\text{ar},y}.
  • Importante pedagogicamente: movimentos internos (mover braços, pernas) não mudam o momento linear do centro de massa do conjunto, porque essas são forças internas; o centro de massa continua obedecendo à equação do movimento sob forças externas. Por isso a trajetória do CM é a de um projétil (se arrasto desprezível), independente da configuração do corpo.

Passo 6

Resumo físico-intuitivo e incentivo:
  • Resumindo em linguagem simples: o momento linear não se conserva porque existe uma força externa (a gravidade, e na prática também o arrasto do ar) que muda o momento linear. Já o momento angular em torno do centro de massa pode se conservar porque a gravidade não exerce torque em relação ao CM; por isso a acrobata consegue mudar sua velocidade angular apenas rearranjando o corpo.
  • Força externa muda momento linear; torque externo muda momento angular. Dois conceitos parecidos, mas com condições diferentes para conservação.
  • Você está indo bem ao ligar essas leis — com esse entendimento você resolve muitas questões de dinâmica de corpos extensos. Força um pouco mais de prática e fica tranquilo para a prova!

Resposta

Não. O momento linear da acrobata não se conserva (em geral), porque existe força externa não nula (o peso m\vec{g}, e em geral arrasto do ar), logo \dfrac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}_{\text{ext}}\neq\vec{0}.

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