Q10.20 Conforme discutimos na Seção 10.7, o momento angular de uma acrobata no circo se conserva à medida que ela se move através do ar. Seu momento linear se conserva? Explique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se o momento linear de uma acrobata em queda através do ar se conserva, sabendo que o momento angular dela se conserva. Informação dada explicitamente ou implicitamente:
- A acrobata está se movendo através do ar (ou seja, está no ar, sem apoio).
- Foi afirmado que o momento angular se conserva enquanto ela se move.
A pergunta a responder: o momento linear se conserva? Preciso explicar por quê (ou por que não).
Passo 2
Recordando a definição e a condição de conservação do momento linear (uma mini-aula):
- O momento linear de um sistema é o vetor
definido por , onde e são as massas e velocidades das partes do sistema. - A lei fundamental que liga força e momento linear é a Segunda Lei de Newton para o sistema:
onde
é a força resultante (vetor) externa total que age sobre o sistema.
- Consequência: o momento linear total
é conservado (isto é, ) se e somente se a força externa resultante for nula:
Explicando cada símbolo:
é a taxa de variação temporal do momento linear total;
é a soma vetorial de todas as forças que vêm de fora do corpo (gravidade, resistência do ar, empuxos, reações externas etc.).
Passo 3
Aplicando isso à acrobata (identificando as forças externas):
- Quando a acrobata está no ar, as forças externas principais são:
- o peso
, apontando para baixo; - a resistência do ar (força de arrasto)
, que geralmente depende da velocidade e pode ter componentes horizontais e verticais.
- o peso
- Logo, a força externa resultante é, em geral,
- Essa soma não é nula: mesmo se desprezarmos a resistência do ar (
), resta o peso . Assim, e portanto
- Conclusão instantânea (sem ainda entrar na comparação com o momento angular): o momento linear total da acrobata não é conservado porque existem forças externas não nulas atuando (principalmente o peso).
Passo 4
Por que então o momento angular pode ser conservado enquanto o momento linear não é? (mini-aula sobre torque e momento angular)
- Definição do momento angular total do sistema em relação a um ponto de referência:
, onde é o vetor posição da partícula relativo ao ponto escolhido. - A relação dinâmica análoga é
onde
é o momento (torque) total das forças externas em relação ao mesmo ponto.
- Se
, então é conservado. - No caso da acrobata costuma-se tomar o ponto de referência como o centro de massa (CM). A força peso age sobre cada partícula, mas a soma dos torques da gravidade em torno do CM é
e, medindo as
em relação ao CM, tem-se
, logo o torque resultante da gravidade em relação ao CM é zero. Portanto a gravidade não produz torque em torno do CM.
- Se as forças aerodinâmicas também produzem torque desprezível (ou se considerarmos o caso idealizado sem arrasto), então
e em torno do CM se conserva. Isso explica por que a acrobata pode puxar os braços e acelerar a rotação — ela altera o momento de inércia interno, mas mantém constante.
Passo 5
Comentário sobre componentes de
e aproximações úteis (prático para prova):
- Mesmo que o momento linear total não seja conservado no vetor geral (porque
), é comum que a componente horizontal do momento linear seja aproximadamente conservada se desprezarmos a resistência do ar, pois o peso é vertical e não altera a componente horizontal:
- Já a componente vertical
muda continuamente por causa do peso: . - Importante pedagogicamente: movimentos internos (mover braços, pernas) não mudam o momento linear do centro de massa do conjunto, porque essas são forças internas; o centro de massa continua obedecendo à equação do movimento sob forças externas. Por isso a trajetória do CM é a de um projétil (se arrasto desprezível), independente da configuração do corpo.
Passo 6
Resumo físico-intuitivo e incentivo:
- Resumindo em linguagem simples: o momento linear não se conserva porque existe uma força externa (a gravidade, e na prática também o arrasto do ar) que muda o momento linear. Já o momento angular em torno do centro de massa pode se conservar porque a gravidade não exerce torque em relação ao CM; por isso a acrobata consegue mudar sua velocidade angular apenas rearranjando o corpo.
- Força externa muda momento linear; torque externo muda momento angular. Dois conceitos parecidos, mas com condições diferentes para conservação.
- Você está indo bem ao ligar essas leis — com esse entendimento você resolve muitas questões de dinâmica de corpos extensos. Força um pouco mais de prática e fica tranquilo para a prova!
Resposta
Não. O momento linear da acrobata não se conserva (em geral), porque existe força externa não nula (o peso
, e em geral arrasto do ar), logo
.