Q10: Considere a sequência formada pela lei de recorrência x_{n+2}=-2 x_{n}+\frac{19}{3} x_{n+1}, \quad n=1,2,3, \ldots. Se x_{1}=21, para que valor de x_{2} temos \lim _{\lim } x_{n}=0 ?
Dica: defina \vec{v}_{n}=\left[\begin{array}{c}x_{n} \\\ x_{n+1}\end{array}\right] e note que
O que exatamente precisamos encontrar: o valor de x_{2} de modo que x_{n}\to 0 quando n\to\infty. Equivalente a isso é pedir que \vec{v}_{n}\to\vec{0} quando n\to\infty.]
Passo 2
Ideia principal (explicada devagar): se \vec{v}_{n+1}=A^{n}\vec{v}_{1}, então o comportamento para n\to\infty de \vec{v}_{n} é determinado por como as potências A^{n} agem. Para matrizes 2\times2 reais que são diagonalizáveis, existe uma base de autovetores em que A age como multiplicação por autovalores. Em termos práticos: se conseguirmos escrever
ou seja, componentes do vetor inicial ao longo de cada autovetor são multiplicadas por \lambda_{1}^{n} e \lambda_{2}^{n}. Portanto, para que A^{n}\vec{v}_{1}\to\vec{0} é necessário e suficiente que a componente correspondente a qualquer autovalor com |\lambda|>1 seja nula (caso contrário essa componente explode), enquanto autovalores com |\lambda|<1 vão a zero automaticamente.
Então o plano de ação: (i) calcular os autovalores de A; (ii) ver quais têm módulo maior que 1; (iii) exigir que \vec{v}_{1} tenha coeficiente zero na direção do(s) autovetor(es) instáveis; (iv) usar x_{1}=21 para achar x_{2}.]
Passo 3
Calcular os autovalores de A. Fazemos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Comentário didático: encontramos um autovalor \lambda_{1}=6 com |\lambda_{1}|=6>1 (instável) e um autovalor \lambda_{2}=1/3 com |\lambda_{2}|=1/3<1 (estável). Para que A^{n}\vec{v}_{1}\to\vec{0} é preciso que a componente de \vec{v}_{1} na direção do autovetor associado a \lambda_{1}=6 seja zero — caso contrário essa componente seria multiplicada por 6^{n} e explodiria.
Passo 5
Encontrar o autovetor correspondente ao autovalor estável \lambda_{2}=1/3 (podemos também achar o autovetor de 6, mas só precisamos eliminar sua componente). Resolvemos (A-\tfrac{1}{3}I)\vec{v}=\vec{0}.
Se \vec{v}=\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt]v_{2}\end{pmatrix} for autovetor, as equações são
-\frac{1}{3}v_{1}+v_{2}=0,
-2v_{1}+6v_{2}=0.
A primeira equação dá v_{2}=\frac{1}{3}v_{1}. A segunda é múltipla da primeira (verificação: -2v_{1}+6v_{2}=-2v_{1}+6\cdot\frac{1}{3}v_{1}=0), então uma escolha simples de autovetor é
Interpretação: a reta gerada por \vec{e}_{2} é o subespaço de estados iniciais que só envolvem o autovalor 1/3 — se \vec{v}_{1} estiver nessa reta, então todas as componentes associadas ao autovalor 6 são zero e A^{n}\vec{v}_{1}\to\vec{0} porque (1/3)^{n}\to 0.]
Passo 6
Agora imponha que \vec{v}_{1} esteja na direção de \vec{e}_{2}. Lembre que
Verificação rápida e intuição: com x_{2}=7 temos \vec{v}_{1}=21\begin{pmatrix}1\\[4pt]1/3\end{pmatrix}. Decompondo nessa base de autovetores, a componente associada a \lambda=6 é zero, portanto