Q18: Considere as afirmativas abaixo:
I - A matriz
possui uma base de autovetores.
II - Se
e
, então
possui 11 autovalores reais distintos.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - A matriz
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmativas sobre autovalores/autovetores e pede que escolhamos qual alternativa está correta dentre
a
. As afirmativas são:
I - A matriz
possui uma base de autovetores.
II - Se
e
, então
possui 11 autovalores reais distintos.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- Temos uma matriz genérica
(tamanho não especificado, mas é quadrada). - Em II,
é uma matriz quadrada real de ordem e é simétrica ( ). - O enunciado pergunta sobre propriedades de autovalores/autovetores (existência de base de autovetores e distinção dos autovalores).
Passo 2
Entendendo o que diz a afirmativa I e por que isso é plausível: primeiro vamos ver uma propriedade simples de transposição que é útil aqui. Para qualquer matriz
(real), a matriz
é simétrica porque
Explicando:
é a operação de transposição; ao transpor o produto usamos
. Aqui isso dá
e
, ficando
. Logo
é simétrica.
Agora, um teorema central que usamos (vamos explicar o que significa): o Teorema espectral para matrizes reais simétricas diz que toda matriz real simétrica
é diagonalizável por uma matriz ortogonal; isto é, existe uma matriz ortogonal
(colunas unitárias e ortogonais entre si) tal que
onde
é diagonal cujas entradas são os autovalores reais de
. As colunas de
são autovetores ortonormais de
e formam uma base do espaço. Explicando termos:
- Uma matriz ortogonal
satisfaz . - Diagonalizar significa representar
como . - Cada coluna de
é um autovetor; as entradas de são os autovalores correspondentes.
Importante: isso vale mesmo que alguns autovalores se repitam — podemos escolher autovetores ortonormais dentro de cada subespaço próprio (multiplicidade geométrica suficiente).
Passo 3
Aplicando o que vimos para I: como provamos,
é simétrica. Pelo Teorema espectral, qualquer matriz real simétrica possui uma base de autovetores (mesmo que haja autovalores repetidos, conseguimos completar com autovetores ortonormais para formar uma base). Portanto a afirmativa I é verdadeira.
Um comentário extra útil na prova:
é ainda semi-definida positiva, então todos os seus autovalores são reais e não-negativos, mas o ponto essencial para I é apenas a simetria + teorema espectral que garante a base de autovetores.
Passo 4
Agora tratemos a afirmativa II. Ela diz que se
em
, então
possui 11 autovalores reais distintos. Vamos separar duas ideias:
- É verdade que uma matriz real simétrica tem todos os autovalores reais. Isso é consequência do Teorema espectral (os autovalores aparecem na diagonal
e são números reais). - Porém, a parte que diz “distintos” (ou seja, todos diferentes entre si) é bem mais forte e não é garantida. Matrizes simétricas podem ter autovalores repetidos (multiplicidade algebraica maior que 1).
Para mostrar que II é falsa basta um contraexemplo simples e claro: tome a matriz identidade de ordem 11,
Essa matriz é simétrica (
). Todos os seus autovalores são
, com multiplicidade algébrica
— portanto não são 11 autovalores distintos, pois existe apenas um valor próprio distinto. Logo II é falsa.
Passo 5
Conclusão lógica combinando os dois resultados:
- I é verdadeira (porque
é simétrica e, por consequência, diagonalizável por uma base de autovetores). - II é falsa (matriz simétrica tem autovalores reais, mas não necessariamente 11 distintos; contraexemplo:
).
Portanto a alternativa correta é: somente a afirmativa I é verdadeira.
Resposta
(B)