Q18: Considere as afirmativas abaixo:
I - A matriz A^{T} A possui uma base de autovetores.
II - Se C: \mathbb{R}^{11} \rightarrow \mathbb{R}^{11} e C=C^{T}, então C possui 11 autovalores reais distintos.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmativas sobre autovalores/autovetores e pede que escolhamos qual alternativa está correta dentre (A) a (D). As afirmativas são:
I - A matriz A^{T} A possui uma base de autovetores.
II - Se C: \mathbb{R}^{11} \rightarrow \mathbb{R}^{11} e C=C^{T}, então C possui 11 autovalores reais distintos.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Temos uma matriz genérica A (tamanho não especificado, mas A^{T}A é quadrada).
  • Em II, C é uma matriz quadrada real de ordem 11 e é simétrica ( C=C^{T}).
  • O enunciado pergunta sobre propriedades de autovalores/autovetores (existência de base de autovetores e distinção dos autovalores).

Passo 2

Entendendo o que diz a afirmativa I e por que isso é plausível: primeiro vamos ver uma propriedade simples de transposição que é útil aqui. Para qualquer matriz A (real), a matriz A^{T}A é simétrica porque
(A^{T}A)^{T} = A^{T}(A^{T})^{T} = A^{T}A.
Explicando: (\cdot)^{T} é a operação de transposição; ao transpor o produto usamos (XY)^{T}=Y^{T}X^{T}. Aqui isso dá (A^{T}A)^{T}=A^{T}(A^{T})^{T} e (A^{T})^{T}=A, ficando A^{T}A. Logo A^{T}A é simétrica.
Agora, um teorema central que usamos (vamos explicar o que significa): o Teorema espectral para matrizes reais simétricas diz que toda matriz real simétrica M é diagonalizável por uma matriz ortogonal; isto é, existe uma matriz ortogonal Q (colunas unitárias e ortogonais entre si) tal que
Q^{T} M Q = D,
onde D é diagonal cujas entradas são os autovalores reais de M. As colunas de Q são autovetores ortonormais de M e formam uma base do espaço. Explicando termos:
  • Uma matriz ortogonal Q satisfaz Q^{T}Q=I.
  • Diagonalizar significa representar M como M = Q D Q^{T}.
  • Cada coluna de Q é um autovetor; as entradas de D são os autovalores correspondentes.
    Importante: isso vale mesmo que alguns autovalores se repitam — podemos escolher autovetores ortonormais dentro de cada subespaço próprio (multiplicidade geométrica suficiente).

Passo 3

Aplicando o que vimos para I: como provamos, A^{T}A é simétrica. Pelo Teorema espectral, qualquer matriz real simétrica possui uma base de autovetores (mesmo que haja autovalores repetidos, conseguimos completar com autovetores ortonormais para formar uma base). Portanto a afirmativa I é verdadeira.
Um comentário extra útil na prova: A^{T}A é ainda semi-definida positiva, então todos os seus autovalores são reais e não-negativos, mas o ponto essencial para I é apenas a simetria + teorema espectral que garante a base de autovetores.

Passo 4

Agora tratemos a afirmativa II. Ela diz que se C=C^{T} em \mathbb{R}^{11}, então C possui 11 autovalores reais distintos. Vamos separar duas ideias:
  1. É verdade que uma matriz real simétrica tem todos os autovalores reais. Isso é consequência do Teorema espectral (os autovalores aparecem na diagonal D e são números reais).
  2. Porém, a parte que diz “distintos” (ou seja, todos diferentes entre si) é bem mais forte e não é garantida. Matrizes simétricas podem ter autovalores repetidos (multiplicidade algebraica maior que 1).
Para mostrar que II é falsa basta um contraexemplo simples e claro: tome a matriz identidade de ordem 11,
I_{11}.
Essa matriz é simétrica ( I_{11}^{T}=I_{11}). Todos os seus autovalores são 1, com multiplicidade algébrica 11 — portanto não são 11 autovalores distintos, pois existe apenas um valor próprio distinto. Logo II é falsa.

Passo 5

Conclusão lógica combinando os dois resultados:
  • I é verdadeira (porque A^{T}A é simétrica e, por consequência, diagonalizável por uma base de autovetores).
  • II é falsa (matriz simétrica tem autovalores reais, mas não necessariamente 11 distintos; contraexemplo: I_{11}).
Portanto a alternativa correta é: somente a afirmativa I é verdadeira.

Resposta

(B)

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