Q10: A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} e \vec{b} \in \mathbb{R}^{2}, \vec{b} \neq \overrightarrow{0}, são tais que (1,1) e (4,8) são soluções do sistema A \vec{x}=\vec{b}. Qual dos seguintes vetores é uma solução do sistema homogêneo associado, A \vec{x}=\overrightarrow{0} ?
(A) (6,14)
(B) (7,14)
(2) (8,14)
(D) (9,14)
(E) (10,14)
(F) (11,14)

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, exatamente (peguei todos os números do enunciado).
  • Dados:
    • A \in \mathbb{R}^{2\times2} e \vec{b}\in\mathbb{R}^2, com \vec{b}\neq\overrightarrow{0}.
    • As soluções do sistema A\vec{x}=\vec{b} incluem \,(1,1) e \,(4,8).
  • Pergunta: entre as alternativas abaixo, qual é solução do sistema homogêneo associado A\vec{x}=\overrightarrow{0}?
    • (A) (6,14)
    • (B) (7,14)
    • (C) (8,14)
    • (D) (9,14)
    • (E) (10,14)
    • (F) (11,14)

Passo 2

Usar uma propriedade básica de matrizes: a multiplicação por A é linear, isto é, para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v} vale
A\vec{u}-A\vec{v}=A(\vec{u}-\vec{v}).
Aplicando isso às duas soluções conhecidas (4,8) e (1,1) do sistema não homogêneo, obtemos
A(4,8)-A(1,1)=\vec{b}-\vec{b}=\overrightarrow{0},
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A\big((4,8)-(1,1)\big)=\overrightarrow{0}.

Passo 3

Calcular a diferença dos vetores:
(4,8)-(1,1)=(3,7).
Portanto (3,7) satisfaz A(3,7)=\overrightarrow{0}; isto é, (3,7) pertence ao núcleo (kernel) de A, que é o conjunto de soluções do sistema homogêneo.

Passo 4

Propriedade importante do espaço de soluções homogêneas: se \vec{v} satisfaz A\vec{v}=\overrightarrow{0}, então qualquer múltiplo escalar \lambda\vec{v} também satisfaz A(\lambda\vec{v})=\lambda A\vec{v}=\overrightarrow{0}. Logo todos os múltiplos escalares de (3,7) são soluções também.

Passo 5

Verificar qual alternativa é múltiplo de (3,7):
  • (6,14)=2\cdot(3,7). Portanto (6,14) é solução homogênea.
  • Para as outras alternativas calcular a razão entre coordenadas e ver se é a mesma:
    • (7,14): \dfrac{7}{3}\neq\dfrac{14}{7}, não é múltiplo.
    • (8,14): \dfrac{8}{3}\neq\dfrac{14}{7}, não é múltiplo.
    • (9,14): \dfrac{9}{3}\neq\dfrac{14}{7}, não é múltiplo.
    • (10,14): \dfrac{10}{3}\neq\dfrac{14}{7}, não é múltiplo.
    • (11,14): \dfrac{11}{3}\neq\dfrac{14}{7}, não é múltiplo.
      Portanto a única alternativa que é múltiplo de (3,7) é a (A).

Resposta

(A) (6,14)

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