Q10:
e
, são tais que
e
são soluções do sistema
. Qual dos seguintes vetores é uma solução do sistema homogêneo associado,
?
(A)
(B)
(2)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(2)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, exatamente (peguei todos os números do enunciado).
- Dados:
-
e , com . - As soluções do sistema
incluem e .
-
- Pergunta: entre as alternativas abaixo, qual é solução do sistema homogêneo associado
? - (A)
- (B)
- (C)
- (D)
- (E)
- (F)
- (A)
Passo 2
Usar uma propriedade básica de matrizes: a multiplicação por
é linear, isto é, para quaisquer vetores
vale
Aplicando isso às duas soluções conhecidas
e
do sistema não homogêneo, obtemos
logo
Passo 3
Calcular a diferença dos vetores:
Portanto
satisfaz
; isto é,
pertence ao núcleo (kernel) de
, que é o conjunto de soluções do sistema homogêneo.
Passo 4
Propriedade importante do espaço de soluções homogêneas: se
satisfaz
, então qualquer múltiplo escalar
também satisfaz
. Logo todos os múltiplos escalares de
são soluções também.
Passo 5
Verificar qual alternativa é múltiplo de
:
-
. Portanto é solução homogênea. - Para as outras alternativas calcular a razão entre coordenadas e ver se é a mesma:
-
: , não é múltiplo. -
: , não é múltiplo. -
: , não é múltiplo. -
: , não é múltiplo. -
: , não é múltiplo.
Portanto a única alternativa que é múltiplo deé a (A).
-
Resposta
(A)