Q8: Sejam \vec{v}=(2,7) e \beta=\{(1,2),(1,3)\}. Assinale a primeira entrada de [\vec{v}]_{\beta}, as coordenadas do vetor \vec{v} com relação à base \beta.
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Vetor \vec{v}=(2,7).
  • Base \beta=\{(1,2),(1,3)\}.
O que se pede: a primeira entrada de [\vec{v}]_{\beta}, isto é, o primeiro coeficiente das coordenadas de \vec{v} em relação à base \beta.

Passo 2

O significado de coordenadas em relação a uma base: procurar escalares a e b tais que a combinação linear dos vetores da base seja o vetor dado. Escrevemos
a(1,2)+b(1,3)=(2,7).
Esses a e b são as coordenadas de \vec{v} na base \beta; o primeiro número de [\vec{v}]_{\beta} será a.

Passo 3

Igualando componente a componente obtemos um sistema linear para a e b:
\begin{cases} a+b=2,\\[4pt] 2a+3b=7. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema por substituição (método simples e rápido em prova). Da primeira equação:
a=2-b.
Substituindo na segunda:
2(2-b)+3b=7.
Desenvolvendo:
4-2b+3b=7,
4+b=7,
b=3.
Agora voltamos para a=2-b:
a=2-3=-1.

Passo 5

Interpretando: as coordenadas de \vec{v} na base \beta são [\vec{v}]_{\beta}=(-1,3). O primeiro coeficiente (primeira entrada) é a=-1.

Resposta

(C) -1

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