Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (3,-3,0,-4) e (5, 1, 4, 2) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^4: (3,-3,0,-4) e (5,1,4,2). Pergunta qual é o intervalo correto que contém o ângulo \theta entre esses vetores, dentre as alternativas (A) a (H). Listei as informações dadas:
\text{vetor }u=(3,-3,0,-4),\qquad \text{vetor }v=(5,1,4,2).
O que se pede: identificar em qual dos intervalos fornecidos o ângulo \theta entre u e v se encontra.

Passo 2

Fórmula e ideia principal: o cosseno do ângulo entre dois vetores em \mathbb{R}^n é dado pelo produto escalar dividido pelo produto das normas. Ou seja,
\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}.
Explicando cada coisa:
  • u\cdot v é o produto escalar (ou produto interno) e se calcula somando os produtos das componentes correspondentes;
  • \|u\| é a norma euclidiana de u, dada por \|u\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+\cdots+u_n^2};
  • a fórmula fornece \cos\theta e, como a função \operatorname{arccos} é decrescente em [0,\pi], comparar \cos\theta com valores conhecidos de cosseno (por exemplo \cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2} e \cos(\pi/2)=0) nos permite colocar \theta num intervalo sem precisar calcular \operatorname{arccos} numericamente com alta precisão.

Passo 3

Calcular o produto escalar u\cdot v. Multiplicamos componente a componente e somamos:
u\cdot v = 3\cdot 5 + (-3)\cdot 1 + 0\cdot 4 + (-4)\cdot 2.
Agora as contas:
3\cdot 5 = 15,\quad (-3)\cdot 1 = -3,\quad 0\cdot 4 = 0,\quad (-4)\cdot 2 = -8.
Somando:
u\cdot v = 15 - 3 + 0 - 8 = 4.

Passo 4

Calcular as normas \|u\| e \|v\|.
Para \|u\|:
\|u\|=\sqrt{3^2+(-3)^2+0^2+(-4)^2}=\sqrt{9+9+0+16}=\sqrt{34}.
Para \|v\|:
\|v\|=\sqrt{5^2+1^2+4^2+2^2}=\sqrt{25+1+16+4}=\sqrt{46}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}=\frac{4}{\sqrt{34}\,\sqrt{46}}.
Simplificando o denominador:
\sqrt{34}\,\sqrt{46}=\sqrt{34\cdot 46}=\sqrt{1564}=\sqrt{4\cdot 391}=2\sqrt{391},
portanto
\cos\theta=\frac{4}{2\sqrt{391}}=\frac{2}{\sqrt{391}}.
Agora uma aproximação decimal (para termos uma noção):
\sqrt{391}\approx 19{,}773\quad\Rightarrow\quad \cos\theta\approx\frac{2}{19{,}773}\approx 0{,}1011.

Passo 6

Colocar \theta num intervalo usando comparação com cossenos conhecidos.
Sabemos que \cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2}=0{,}5 e \cos(\pi/2)=0. Nosso valor encontrado é
\cos\theta\approx 0{,}1011,
que satisfaz
0<0{,}1011<0{,}5.
Como a função \cos é decrescente em [0,\pi], a desigualdade \cos(\pi/3)>\cos\theta>\cos(\pi/2) implica
\pi/3<\theta<\pi/2.
Portanto \theta pertence ao intervalo (\pi/3,\pi/2). Observando as alternativas, a que corresponde a isso é a alternativa (D), que afirma \pi/3<\theta\le \pi/2. Nosso \theta é estritamente menor que \pi/2, então cabe na alternativa (D).

Resposta

(D)

Exercícios relacionados