Q8: Sejam \left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \vec{x}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LI e \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LD. Suponha A uma matriz 3 \times 3 tal que:
A \vec{x}_{1}=\vec{b}_{1}, \quad A \vec{x}_{2}=\vec{b}_{2} \quad \text { e } \quad A \vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}:
(A) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução única, qualquer que seja \vec{b}.
(B) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução para certos valores do vetor \vec{b}, mas quando existe solução ela é única.
(C) Não se pode afirmar se existe ou não tal A.
(D) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para qualquer \vec{b}.
(E) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução para qualquer \vec{b}, mas não se pode garantir unicidade.
(F) Pode-se afirmar que não existe tal A.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pedidos (vou deixar bem claro o que está sendo dado):
  • Temos \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} que é um conjunto linearmente independente (LI).
  • Temos \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} que é um conjunto linearmente dependente (LD).
  • Existe uma matriz A de tamanho 3\times3 tal que
A\vec{x}_{1}=\vec{b}_{1},\qquad A\vec{x}_{2}=\vec{b}_{2},\qquad A\vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}.
O que o enunciado pede é escolher entre as alternativas (A)–(F) a que é correta dada essa informação. Não há outras informações nem figuras; só use o que está acima.

Passo 2

Primeiro vou mostrar que tal matriz A existe (e como construí-la). Como \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\} é LI em \mathbb{R}^{3} e há três vetores, eles formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Defino as matrizes coluna
X=\begin{pmatrix}\vline & \vline & \vline\\\ \vec{x}_{1} & \vec{x}_{2} & \vec{x}_{3}\\\ \vline & \vline & \vline \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}\vline & \vline & \vline\\\ \vec{b}_{1} & \vec{b}_{2} & \vec{b}_{3}\\\ \vline & \vline & \vline \end{pmatrix}.
Como as colunas de X são LI, a matriz X é invertível. Se eu definir
A = B X^{-1},
então, multiplicando ambos os lados por X, obtenho A X = B. Como a i-ésima coluna de X é \vec{x}_{i} e a i-ésima coluna de B é \vec{b}_{i}, a igualdade A X = B é exatamente equivalente ao sistema de igualdades
A\vec{x}_{i}=\vec{b}_{i}\quad\text{para }i=1,2,3.
Portanto, existe (e é único) um A que satisfaz as três equações.

Passo 3

Agora vamos estudar propriedades de A usando matrizes X e B. Observe que X^{-1} é invertível, então multiplicar por X^{-1} não altera o posto (rank) linearmente essencial das colunas do fator à esquerda. Logo
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(BX^{-1})=\operatorname{rank}(B).
Mas as colunas de B são exatamente \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3} e sabemos que esse conjunto é linearmente dependente, portanto
\operatorname{rank}(B)\le 2.
Assim concluímos
\operatorname{rank}(A)\le 2<3.
Isto implica que A não é invertível (determinante nulo) e que a dimensão do espaço coluna de A é no máximo 2.

Passo 4

Interpretação do que o posto menor que 3 implica para as soluções de A\vec{x}=\vec{b}:
  • Teorema da dimensão (Rank–Nullity): para A 3\times3,
\dim(\ker A)=3-\operatorname{rank}(A)\ge 1.
Portanto \ker A contém vetores não nulos, ou seja, o sistema homogêneo A\vec{x}=\vec{0} tem soluções não-triviais. Isso significa que, sempre que existir alguma solução de A\vec{x}=\vec{b}, não haverá unicidade — se \vec{x}_0 é uma solução e \vec{v}\in\ker A é não-nulo, então \vec{x}_0+\vec{v} também é solução. Logo, para quaisquer \vec{b} que estejam no espaço imagem de A, as soluções (quando existem) são infinitas (não são únicas).

Passo 5

Agora sobre existência de soluções para qualquer \vec{b}: o sistema A\vec{x}=\vec{b} tem solução se, e somente se, \vec{b} pertencer à coluna de A, ou seja, ao subespaço \operatorname{Im}(A)=\operatorname{span}\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\}. Como \operatorname{rank}(A)=\dim\big(\operatorname{span}\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\}\big)\le 2, esse subespaço não é todo o \mathbb{R}^{3} (ele tem dimensão menor que 3). Logo existem vetores \vec{b}\in\mathbb{R}^{3} que não pertencem à imagem de A, para os quais o sistema não tem solução.

Passo 6

Juntando as conclusões:
  • Existem vetores \vec{b} para os quais A\vec{x}=\vec{b} não tem solução (porque \operatorname{Im}(A)\neq\mathbb{R}^{3}).
  • Quando A\vec{x}=\vec{b} tem solução (ou seja, \vec{b}\in\operatorname{Im}(A)), essa solução não é única, porque \ker A é não-trivial.
    Portanto, não existe nenhum \vec{b} tal que o sistema tenha exatamente uma solução: para \vec{b} fora da imagem, há zero soluções; para \vec{b} dentro da imagem, há infinitas soluções. Em ambas as situações, não há unicidade de solução. Assim a afirmação correta entre as alternativas é a que diz que “não tem solução única, qualquer que seja \vec{b}”.

Passo 7

Um exemplo simples que mostra tudo isso é tomar \vec{x}_{1}=(1,0,0)^{T}, \vec{x}_{2}=(0,1,0)^{T}, \vec{x}_{3}=(0,0,1)^{T} (base canônica, LI) e escolher \vec{b}_{1}=(1,0,0)^{T}, \vec{b}_{2}=(0,1,0)^{T}, \vec{b}_{3}=\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}=(1,1,0)^{T} (esses três são LD). Então
A=\begin{pmatrix}1&0&1\\\ 0&1&1\\\ 0&0&0\end{pmatrix}
satisfaz A\vec{x}_{i}=\vec{b}_{i}. Aqui \operatorname{rank}(A)=2. Por exemplo, para \vec{b}=(0,0,1)^{T} não existe solução; para \vec{b}=(1,0,0)^{T} existem infinitas soluções (pois o núcleo é não-trivial). Nunca há solução única.

Resposta

(A)

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