Q10: Seja
o ângulo entre os vetores
e (5, 1, 4, 2) em
. Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
:
e
. Pergunta qual é o intervalo correto que contém o ângulo
entre esses vetores, dentre as alternativas (A) a (H). Listei as informações dadas:
O que se pede: identificar em qual dos intervalos fornecidos o ângulo
entre
e
se encontra.
Passo 2
Fórmula e ideia principal: o cosseno do ângulo entre dois vetores em
é dado pelo produto escalar dividido pelo produto das normas. Ou seja,
Explicando cada coisa:
-
é o produto escalar (ou produto interno) e se calcula somando os produtos das componentes correspondentes; -
é a norma euclidiana de , dada por ; - a fórmula fornece
e, como a função é decrescente em , comparar com valores conhecidos de cosseno (por exemplo e ) nos permite colocar num intervalo sem precisar calcular numericamente com alta precisão.
Passo 3
Calcular o produto escalar
. Multiplicamos componente a componente e somamos:
Agora as contas:
Somando:
Passo 4
Calcular as normas
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Aplicar a fórmula do cosseno:
Simplificando o denominador:
portanto
Agora uma aproximação decimal (para termos uma noção):
Passo 6
Colocar
num intervalo usando comparação com cossenos conhecidos.
Sabemos que
e
. Nosso valor encontrado é
que satisfaz
Como a função
é decrescente em
, a desigualdade
implica
Portanto
pertence ao intervalo
. Observando as alternativas, a que corresponde a isso é a alternativa (D), que afirma
. Nosso
é estritamente menor que
, então cabe na alternativa (D).
Resposta
(D)