Foi definida a matriz M=\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right] cujas colunas são exatamente os vetores da base \beta.
O que se pergunta: dentre as alternativas (A) a (H), qual igualdade matricial é verdadeira envolvendo A e M.
Passo 2
Conceito-chave (explicado passo a passo, sem pressa): se M tem as colunas sendo os vetores da base \beta, então a multiplicação A M forma uma matriz cujas colunas são A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3}. Ou seja,
A M=\left[\;A\vec{v}_{1}\;\;A\vec{v}_{2}\;\;A\vec{v}_{3}\;\right].
Além disso, cada vetor A\vec{v}_{j} pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base \beta. Os coeficientes dessas combinações formam a j-ésima coluna da matriz da transformação A relativa à base \beta. Essa matriz (vamos chamar de C) satisfaz
A M = M C.
Aqui a ideia é: M converte coordenadas na base canônica para coordenadas na base \beta; C são as coordenadas de A\vec{v}_j na base \beta. Não precisa usar inversa explicitamente: basta obter as coordenadas de cada A\vec{v}_j.
Passo 3
Calcular as coordenadas de cada A\vec{v}_{j} na base \beta. Lembre-se: a ordem das coordenadas é sempre em relação a \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}.
Para \;A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1}\; os coeficientes em relação a \beta são 3 para \vec{v}_{1} e 0 para \vec{v}_{2},\vec{v}_{3}. Logo a coordenada é
\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para \;A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}\; os coeficientes são 1 para \vec{v}_{1}, 0 para \vec{v}_{2} e -3 para \vec{v}_{3}. Logo a coordenada é
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Para \;A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-2\vec{v}_{3}\; os coeficientes são 1,0,-2. Logo a coordenada é
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]
Passo 4
Montando a matriz C cujas colunas são essas coordenadas (primeira coluna as coordenadas de A\vec{v}_1, segunda as de A\vec{v}_2, terceira as de A\vec{v}_3), temos