e pede que identifiquemos em qual das alternativas o ângulo \theta entre esses vetores se encontra. Ou seja: calcular o ângulo entre u e v (ou ao menos localizar em qual intervalo listado ele está) a partir das informações dos vetores.
Passo 2
Fórmula e conceito que vamos usar (explicação didática):
A definição do produto interno (produto escalar) entre dois vetores u=(u_1,u_2,\dots,u_n) e v=(v_1,v_2,\dots,v_n) em \mathbb{R}^n é
onde \theta\in[0,\pi]. Observação importante: na faixa [0,\pi] a função \cos é estritamente decrescente, então comparações entre cossenos se traduzem em comparações invertidas entre os ângulos (isto é, se \cos\alpha<\cos\beta então \alpha>\beta).
Passo 3
Calcular o produto escalar u\cdot v passo a passo:
logo \frac{81}{98}>\frac{3}{4}. Portanto \frac{9}{7\sqrt{2}}>\frac{\sqrt{3}}{2}, isto implica
-\frac{9}{7\sqrt{2}} < -\frac{\sqrt{3}}{2}.
Como \cos é decrescente em [0,\pi], da desigualdade \cos\theta < \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) segue que
\theta > \frac{5\pi}{6}.
Além disso, \cos\theta > -1 sempre (pois -1< -\tfrac{9}{7\sqrt{2}} <1), então \theta<\pi. Portanto
\frac{5\pi}{6} < \theta < \pi.
Passo 7
Concluir qual alternativa corresponde ao intervalo encontrado. A alternativa (H) afirma
\frac{5\pi}{6}<\theta\leqslant \pi.
Nosso resultado é \frac{5\pi}{6}<\theta<\pi, que entra no intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de (H). Como \theta não pode ser exatamente \pi (isso exigiria vetores opostos exatos com razão dos comprimentos fazendo o cosseno igual a -1, o que não é o caso aqui), a alternativa (H) é a que contém o ângulo encontrado.