Q10: Seja \theta o ángulo entre os vetores (1,-3,4,3) e (2,5,-5,-4) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^4:
u=(1,-3,4,3),\qquad v=(2,5,-5,-4),
e pede que identifiquemos em qual das alternativas o ângulo \theta entre esses vetores se encontra. Ou seja: calcular o ângulo entre u e v (ou ao menos localizar em qual intervalo listado ele está) a partir das informações dos vetores.

Passo 2

Fórmula e conceito que vamos usar (explicação didática):
A definição do produto interno (produto escalar) entre dois vetores u=(u_1,u_2,\dots,u_n) e v=(v_1,v_2,\dots,v_n) em \mathbb{R}^n é
u\cdot v = \sum_{i=1}^n u_i v_i.
O comprimento (norma) de um vetor u é
\|u\| = \sqrt{u\cdot u} = \sqrt{\sum_{i=1}^n u_i^2}.
O ângulo \theta entre u e v é dado pela fórmula
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|},
onde \theta\in[0,\pi]. Observação importante: na faixa [0,\pi] a função \cos é estritamente decrescente, então comparações entre cossenos se traduzem em comparações invertidas entre os ângulos (isto é, se \cos\alpha<\cos\beta então \alpha>\beta).

Passo 3

Calcular o produto escalar u\cdot v passo a passo:
u\cdot v = 1\cdot 2 + (-3)\cdot 5 + 4\cdot(-5) + 3\cdot(-4).
Agora as multiplicações e somas:
u\cdot v = 2 - 15 - 20 - 12.
Somando em ordem:
2-15=-13,\quad -13-20=-33,\quad -33-12=-45.
Portanto
u\cdot v = -45.

Passo 4

Calcular as normas \|u\| e \|v\| passo a passo:
\|u\|^2 = 1^2 + (-3)^2 + 4^2 + 3^2 = 1+9+16+9 = 35,
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\|u\| = \sqrt{35}.
Para v:
\|v\|^2 = 2^2 + 5^2 + (-5)^2 + (-4)^2 = 4+25+25+16 = 70,
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\|v\| = \sqrt{70}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|} = \frac{-45}{\sqrt{35}\,\sqrt{70}}.
Simplificando o denominador:
\sqrt{35}\,\sqrt{70}=\sqrt{35\cdot 70}=\sqrt{2450}.
Fatorando 2450=49\cdot 50 obtemos \sqrt{2450}=7\sqrt{50}=7\cdot 5\sqrt{2}=35\sqrt{2}. Assim
\cos\theta = \frac{-45}{35\sqrt{2}} = -\frac{9}{7\sqrt{2}}.

Passo 6

Interpretar numericamente e comparar com os limites dados nas alternativas:
Calculemos qualitativamente onde isto se encaixa. Primeiro note que
\cos\theta = -\frac{9}{7\sqrt{2}}\approx -0,90909\quad(\text{aprox.}).
A alternativa relevante-limite é \frac{5\pi}{6}, cujo cosseno é
\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\approx -0,86603.
Comparando algebraicamente (retirando o sinal negativo): queremos ver se
-\frac{9}{7\sqrt{2}} < -\frac{\sqrt{3}}{2}.
Isto é equivalente a
\frac{9}{7\sqrt{2}} > \frac{\sqrt{3}}{2},
ambos lados positivos, então podemos elevar ao quadrado sem trocar o sinal:
\left(\frac{9}{7\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{81}{98},\qquad \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}.
Comparando numericamente ou por multiplicação cruzada:
\frac{81}{98} \approx 0,82653\quad\text{e}\quad \frac{3}{4}=0,75,
logo \frac{81}{98}>\frac{3}{4}. Portanto \frac{9}{7\sqrt{2}}>\frac{\sqrt{3}}{2}, isto implica
-\frac{9}{7\sqrt{2}} < -\frac{\sqrt{3}}{2}.
Como \cos é decrescente em [0,\pi], da desigualdade \cos\theta < \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) segue que
\theta > \frac{5\pi}{6}.
Além disso, \cos\theta > -1 sempre (pois -1< -\tfrac{9}{7\sqrt{2}} <1), então \theta<\pi. Portanto
\frac{5\pi}{6} < \theta < \pi.

Passo 7

Concluir qual alternativa corresponde ao intervalo encontrado. A alternativa (H) afirma
\frac{5\pi}{6}<\theta\leqslant \pi.
Nosso resultado é \frac{5\pi}{6}<\theta<\pi, que entra no intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de (H). Como \theta não pode ser exatamente \pi (isso exigiria vetores opostos exatos com razão dos comprimentos fazendo o cosseno igual a -1, o que não é o caso aqui), a alternativa (H) é a que contém o ângulo encontrado.

Resposta

(H)

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