Q8: Sejam \left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \vec{x}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LD e \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LI. Suponha A uma matriz 3 \times 3 tal que:
A \vec{x}_{1}=\vec{b}_{1}, \quad A \vec{x}_{2}=\vec{b}_{2} \quad \text { e } \quad A \vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}:
(A) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução para certos valores do vetor \vec{b}, mas quando existe solução ela é única.
(B) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para qualquer \vec{b}.
(C) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução única, qualquer que seja \vec{b}.
(D) Pode-se afirmar que não existe tal A.
(E) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução para qualquer \vec{b}, mas não se pode garantir unicidade.
(F) Não se pode afirmar se existe ou não tal A.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que escolhamos a alternativa correta:
  • Temos \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} que é um conjunto linearmente dependente (LD).
  • Temos \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} que é um conjunto linearmente independente (LI).
  • Existe uma matriz A de ordem 3\times3 cuja ação sobre os vetores \vec{x}_{i} é
A\vec{x}_{1}=\vec{b}_{1},\qquad A\vec{x}_{2}=\vec{b}_{2},\qquad A\vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}.
As alternativas são (A) a (F) e precisamos dizer qual delas é verdadeira.

Passo 2

Vou relembrar com calma dois conceitos fundamentais (isso é importante para a prova e para entender a ideia):
  • Definição de linearmente dependente: dizer que \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\} é LD significa que existem escalares \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}, nem todos zero, tais que
\alpha_{1}\vec{x}_{1}+\alpha_{2}\vec{x}_{2}+\alpha_{3}\vec{x}_{3}=\vec{0}.
Explico: “nem todos zero” quer dizer que pelo menos um dos \alpha_{i} é diferente de zero — então há uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero.
  • Definição de linearmente independente: dizer que \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\} é LI significa que, se
\beta_{1}\vec{b}_{1}+\beta_{2}\vec{b}_{2}+\beta_{3}\vec{b}_{3}=\vec{0},
então necessariamente \beta_{1}=\beta_{2}=\beta_{3}=0. Ou seja, a única combinação linear que dá zero é a trivial.

Passo 3

Outra propriedade que precisamos usar (e que é bem direta): uma matriz A representa uma transformação linear, então ela preserva combinações lineares. Em palavras: para quaisquer escalares \gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3} e vetores \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3},
A(\gamma_{1}\vec{v}_{1}+\gamma_{2}\vec{v}_{2}+\gamma_{3}\vec{v}_{3}) =\gamma_{1}A\vec{v}_{1}+\gamma_{2}A\vec{v}_{2}+\gamma_{3}A\vec{v}_{3}.
Isso é só a linearidade da multiplicação matricial — uma ferramenta básica que vamos usar.

Passo 4

Como \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\} é LD, existe uma combinação não trivial
\alpha_{1}\vec{x}_{1}+\alpha_{2}\vec{x}_{2}+\alpha_{3}\vec{x}_{3}=\vec{0},
com algum \alpha_{i}\neq 0. Agora aplicamos A aos dois lados e usamos a linearidade (da etapa anterior). O lado esquerdo vira
A(\alpha_{1}\vec{x}_{1}+\alpha_{2}\vec{x}_{2}+\alpha_{3}\vec{x}_{3}) =\alpha_{1}A\vec{x}_{1}+\alpha_{2}A\vec{x}_{2}+\alpha_{3}A\vec{x}_{3}.
Pela hipótese dada sobre A, isso é
\alpha_{1}\vec{b}_{1}+\alpha_{2}\vec{b}_{2}+\alpha_{3}\vec{b}_{3}.
O lado direito era A\vec{0}=\vec{0}. Portanto obtemos
\alpha_{1}\vec{b}_{1}+\alpha_{2}\vec{b}_{2}+\alpha_{3}\vec{b}_{3}=\vec{0}.

Passo 5

Agora usamos a propriedade dos \vec{b}_{i}: como \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\} é LI, a igualdade
\alpha_{1}\vec{b}_{1}+\alpha_{2}\vec{b}_{2}+\alpha_{3}\vec{b}_{3}=\vec{0}
implica que \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0. Mas isso contradiz o fato de que a combinação original em \vec{x}_{i} era não trivial (ou seja, pelo menos um \alpha_{i} era diferente de zero). Temos, portanto, uma contradição lógica.

Passo 6

Dado que assumir a existência de A que satisfaça A\vec{x}_{i}=\vec{b}_{i} leva a uma contradição com as hipóteses (LD dos \vec{x}_{i} e LI dos \vec{b}_{i}), concluímos que tal matriz A não pode existir. Em termos simples: uma transformação linear não pode transformar um conjunto que tem relação linear não trivial em um conjunto que não tem nenhuma relação linear — porque transformar preserva essas relações.

Passo 7

Portanto a afirmação correta entre as alternativas é que "não existe tal A". Isso corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D)

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