Q11. Seguindo os passos da questão anterior, encontre a solução geral dos seguintes sistemas de EDO:
(e)
;
(e)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema de EDO linear de ordem 1
com
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por diagonalização: vamos encontrar autovalores e autovetores de
.]
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
resolvendo
Temos
Expandindo,
então
Passo 3
Resolvendo
pela fórmula de Bhaskara,
obtemos os autovalores
Passo 4
Para cada
achamos um autovetor não-nulo resolvendo
:
-
Se
,da equação segue . Escolhendo , um autovetor é -
Se
,da equação segue . Tomando , um autovetor é ]
Passo 5
Como os autovalores são distintos,
é diagonalizável e a solução geral do sistema é combinação linear dos modos
. Assim,
onde
e
são constantes arbitrárias.