Q11. Seguindo os passos da questão anterior, encontre a solução geral dos seguintes sistemas de EDO:
(e) \quad \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}4 & -5 \\\\ 2 & -3\end{array}\right) \mathbf{x};

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDO linear de ordem 1
\mathbf{x}' = A\,\mathbf{x},
com
A = \begin{pmatrix}4 & -5 \\[6pt] 2 & -3\end{pmatrix}.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por diagonalização: vamos encontrar autovalores e autovetores de A.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A resolvendo
\det(A - \lambda I) = 0.
Temos
\det\begin{pmatrix}4-\lambda & -5 \\[4pt] 2 & -3-\lambda\end{pmatrix} = (4-\lambda)(-3-\lambda) - (-5)\cdot 2.
Expandindo,
(4-\lambda)(-3-\lambda) = \lambda^2 - \lambda - 12,
então
\det(A - \lambda I) = (\lambda^2 - \lambda -12) + 10 = \lambda^2 - \lambda - 2.]

Passo 3

Resolvendo
\lambda^2 - \lambda - 2 = 0
pela fórmula de Bhaskara,
\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2},
obtemos os autovalores
\lambda_1 = 2, \qquad \lambda_2 = -1.

Passo 4

Para cada \lambda_i achamos um autovetor não-nulo resolvendo (A - \lambda_i I)\mathbf{v}=0:
  1. Se \lambda_1 = 2,
    A - 2I = \begin{pmatrix}2 & -5 \\[4pt] 2 & -5\end{pmatrix},
    da equação 2v_1 - 5v_2 = 0 segue v_1 = \tfrac{5}{2}v_2. Escolhendo v_2=2, um autovetor é
    \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix}5 \\\\ 2\end{pmatrix}.
  2. Se \lambda_2 = -1,
    A + I = \begin{pmatrix}5 & -5 \\[4pt] 2 & -2\end{pmatrix},
    da equação 5v_1 - 5v_2 = 0 segue v_1 = v_2. Tomando v_2=1, um autovetor é
    \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}1 \\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Como os autovalores são distintos, A é diagonalizável e a solução geral do sistema é combinação linear dos modos e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i. Assim,
\mathbf{x}(t) = C_1 \begin{pmatrix}5 \\\\ 2\end{pmatrix} e^{2t} + C_2 \begin{pmatrix}1 \\\\ 1\end{pmatrix} e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

\mathbf{x}(t) = C_1 \begin{pmatrix}5 \\[4pt] 2\end{pmatrix} e^{2t} + C_2 \begin{pmatrix}1 \\[4pt] 1\end{pmatrix} e^{-t}.]

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