Q11: Sejam
um espaço vetorial e
. Considere as afirmativas abaixo:
I -
pode ser LI ainda que
seja LD.
II - Se
gera
então
gera
.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I -
II - Se
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado apresenta um espaço vetorial
e quatro vetores
. Precisamos verificar duas afirmações sobre independência linear (IL) e dependência linear (DL), e geração de
. Vamos usar os conceitos de:
- Um conjunto é DL se já existe uma combinação linear não trivial que dá zero.
- Se um subconjunto é DL, qualquer conjunto maior que o contenha também é DL.
- Se um conjunto gera
, qualquer conjunto que o contenha também gera .
Passo 2
Analisando I: “
pode ser IL ainda que
seja DL.”
Se é DL, existe
, não ambos zero, com
Se
Mas então a mesma combinação, com coeficientes zero para
, mostra que o conjunto de quatro vetores também é DL. Logo I é falsa.
Passo 3
Analisando II: “Se
gera
então
gera
.”
Se dois vetores já geram todo , qualquer vetor extra não diminui o espaço gerado. Assim o conjunto maior continua gerando
. Logo II é verdadeira.
Se dois vetores já geram todo
Passo 4
Concluímos que apenas a afirmação II é verdadeira.
Resposta
(C)