Q11: Sejam V um espaço vetorial e \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}, \vec{v}_{4}\right\} \subset V. Considere as afirmativas abaixo:
I - \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}, \vec{v}_{4}\right\} pode ser LI ainda que \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\} seja LD.
II - Se \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\} gera V então \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}, \vec{v}_{4}\right\} gera V.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado apresenta um espaço vetorial V e quatro vetores \{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3,\vec v_4\}\subset V. Precisamos verificar duas afirmações sobre independência linear (IL) e dependência linear (DL), e geração de V. Vamos usar os conceitos de:
  1. Um conjunto é DL se já existe uma combinação linear não trivial que dá zero.
  2. Se um subconjunto é DL, qualquer conjunto maior que o contenha também é DL.
  3. Se um conjunto gera V, qualquer conjunto que o contenha também gera V.

Passo 2

Analisando I: “ \{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3,\vec v_4\} pode ser IL ainda que \{\vec v_1,\vec v_2\} seja DL.”
Se \{\vec v_1,\vec v_2\} é DL, existe \alpha,\beta, não ambos zero, com
\alpha\vec v_1+\beta\vec v_2=0.
Mas então a mesma combinação, com coeficientes zero para \vec v_3,\vec v_4, mostra que o conjunto de quatro vetores também é DL. Logo I é falsa.

Passo 3

Analisando II: “Se \{\vec v_1,\vec v_2\} gera V então \{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3,\vec v_4\} gera V.”
Se dois vetores já geram todo V, qualquer vetor extra não diminui o espaço gerado. Assim o conjunto maior continua gerando V. Logo II é verdadeira.

Passo 4

Concluímos que apenas a afirmação II é verdadeira.

Resposta

(C)

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