Q12: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e pede uma base para o complemento ortogonal
, isto é, o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a cada gerador de
.
Passo 2
Vemos que o terceiro vetor é combinação linear dos dois primeiros. De fato, seja
Procuramos
tais que
. Das componentes obtém-se
e
, logo
Portanto
já gera
e é independente, de modo que
Passo 3
Um vetor genérico
pertence a
se satisfizer
Passo 4
Resolvendo
Assim
Passo 5
Concluímos que
é de dimensão 2. Precisamos então escolher nos itens a opção que forneça dois vetores independentes que gerem esse mesmo plano.
Passo 6
Dos itens propostos, só a alternativa (B) traz dois vetores. Verificamos para
que
logo
. Além disso são linearmente independentes, então formam uma base de
. As demais opções ou têm apenas um vetor (dimensão 1) ou contêm vetor que não é ortogonal a
.
Resposta
(B)