Q12: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(3,-1,0,0),(0,1,0,-3),(6,-6,0,12)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(4,12,-2,4)\}
(B) \{(4,12,-2,4),(1,3,-4,1)\}
(C) \{(1,3,-4,1)\}
(D) \{(4,12,-2,4),(-2,2,-2,2)\}

Passo 1

O enunciado define o subespaço
H = \operatorname{span}\{(3,-1,0,0),\,(0,1,0,-3),\,(6,-6,0,12)\}\subset\mathbb{R}^4
e pede uma base para o complemento ortogonal H^{\perp}, isto é, o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^4 que são ortogonais a cada gerador de H.

Passo 2

Vemos que o terceiro vetor é combinação linear dos dois primeiros. De fato, seja
v_1=(3,-1,0,0),\quad v_2=(0,1,0,-3),\quad v_3=(6,-6,0,12).
Procuramos a,b tais que a\,v_1+b\,v_2=v_3. Das componentes obtém-se a=2 e b=-4, logo
v_3=2\,v_1 -4\,v_2.
Portanto \{v_1,v_2\} já gera H e é independente, de modo que
\dim H = 2,\quad \dim H^{\perp}=4-2=2.

Passo 3

Um vetor genérico x=(x_1,x_2,x_3,x_4) pertence a H^{\perp} se satisfizer
x\cdot v_1 = 3x_1 - x_2 = 0,
x\cdot v_2 = x_2 - 3x_4 = 0.

Passo 4

Resolvendo
3x_1 - x_2 = 0\;\Rightarrow\;x_2=3x_1,
x_2 -3x_4=0\;\Rightarrow\;3x_1=3x_4\;\Rightarrow\;x_1=x_4.
Assim
x=(x_1,\,3x_1,\,x_3,\,x_1) =x_1\,(1,3,0,1)+x_3\,(0,0,1,0).

Passo 5

Concluímos que
H^{\perp} = \operatorname{span}\{(1,3,0,1),\,(0,0,1,0)\}
é de dimensão 2. Precisamos então escolher nos itens a opção que forneça dois vetores independentes que gerem esse mesmo plano.

Passo 6

Dos itens propostos, só a alternativa (B) traz dois vetores. Verificamos para
u_1=(4,12,-2,4),\quad u_2=(1,3,-4,1)
que
u_i\cdot v_1=0,\quad u_i\cdot v_2=0,\quad i=1,2,
logo u_1,u_2\in H^{\perp}. Além disso são linearmente independentes, então formam uma base de H^{\perp}. As demais opções ou têm apenas um vetor (dimensão 1) ou contêm vetor que não é ortogonal a H.

Resposta

(B)

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