Q11: Sejam T(x, y, z)=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & -2 \\\\ -1 & 2 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] e S(x, y)=(x+2 y, 2 x+2 y,-x-y).
Se C é a matriz que representa a composição T \circ S, então sua entrada c_{22} é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3

Passo 1

O enunciado define duas transformações lineares:
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y,z)=\begin{pmatrix}-1 & 2 & -2 \\\\ -1 & 2 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}
S\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3,\quad S(x,y)=(x+2y,\;2x+2y,\;-x-y)
Queremos a matriz C que representa a composição T\circ S no sistema canônico e, em particular, seu elemento c_{22}.

Passo 2

Para achar a matriz de S, escrevemos cada componente como combinação linear de x e y. Assim
S(x,y) =\begin{pmatrix} 1\cdot x + 2\cdot y\\\\ 2\cdot x + 2\cdot y\\\\ -1\cdot x + (-1)\cdot y \end{pmatrix}
Logo, em coordenadas canônicas,
B = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 2 & 2\\\\ -1 & -1 \end{pmatrix}
é a matriz de S.

Passo 3

A matriz de T já está dada como
A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2\\\\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

A matriz da composição T\circ S é o produto
C = A\,B,
que será uma matriz 2\times2. Seus elementos são
c_{ij} = \sum_{k=1}^3 a_{ik}\,b_{kj}.

Passo 5

Para c_{22} (segunda linha, segunda coluna):
c_{22} = a_{21}\,b_{1 2} + a_{22}\,b_{2 2} + a_{23}\,b_{3 2} = (-1)\cdot 2 + 2\cdot 2 + (-1)\cdot(-1) = -2 + 4 + 1 = 3.

Resposta

3

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