Q12: A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em \mathbb{R}^{3} :
R=\frac{1}{45}\left[\begin{array}{rrr} -19 & -40 & -8 \\\\ 8 & 5 & -44 \\\\ 40 & -20 & 5 \end{array}\right] .
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) -\frac{3}{5}
(B) -\frac{3}{4}
(C) \frac{4}{5}
(D) -\frac{4}{5}
(E) \frac{3}{5}
(F) \frac{3}{4}
(G) \frac{1}{2}
(H) -\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá que R é uma matriz que representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem em \mathbb{R}^{3}. Pede-se o cosseno do ângulo de rotação. A matriz fornecida é
R=\frac{1}{45}\begin{bmatrix} -19 & -40 & -8 \\\\ 8 & 5 & -44 \\\\ 40 & -20 & 5 \end{bmatrix}.
Dica do enunciado: determinar o eixo de rotação (um vetor próprio com autovalor 1), escolher uma direção ortogonal ao eixo e determinar o ângulo que esse vetor é rotacionado. Aqui listamos as informações relevantes:
  • R é uma matriz de rotação em \mathbb{R}^{3}.
  • A matriz explícita (mostrarei entradas acima).
  • Queremos \cos(\theta), onde \theta é o ângulo dessa rotação.

Passo 2

Propriedade útil (fórmula básica que vamos usar). Para uma rotação em \mathbb{R}^{3} em torno de um eixo, os autovalores da matriz são
1,\quad e^{i\theta},\quad e^{-i\theta},
onde \theta é o ângulo de rotação. A razão é que existe um vetor real (o eixo) que não é alterado (autovalor 1), e na subespaço ortogonal o operador age como rotação de ângulo \theta, cujos autovalores complexos são e^{\pm i\theta}.
A partir disso, a traça (soma dos autovalores) satisfaz
\operatorname{tr}(R)=1+e^{i\theta}+e^{-i\theta}=1+2\cos\theta.
Portanto, obtemos a fórmula direta e muito útil
\cos\theta=\frac{\operatorname{tr}(R)-1}{2}.
Vou explicar: \operatorname{tr}(R) é a soma das entradas na diagonal de R. A igualdade com 1+2\cos\theta decorre da soma e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta.

Passo 3

Calcular a traça de R. A traça é a soma dos elementos diagonais da matriz R. Usando a matriz dada,
\operatorname{tr}(R)=\frac{1}{45}\bigl((-19)+5+5\bigr)=\frac{-9}{45}=-\frac{1}{5}.

Passo 4

Aplicar a fórmula para \cos\theta. Usando \cos\theta=(\operatorname{tr}(R)-1)/2, temos
\cos\theta=\frac{-\tfrac{1}{5}-1}{2}=\frac{-\tfrac{6}{5}}{2}=-\frac{3}{5}.
Portanto o cosseno do ângulo de rotação é -\tfrac{3}{5}.

Passo 5

(fazendo o que a dica sugeriu: verificar achando eixo e uma direção ortogonal) Vamos verificar rapidamente, encontrando o eixo de rotação (vetor próprio com autovalor 1\)). Escrevemos \(R v=v\), isto é \((R-I)v=0\). Multiplicando por \(45\) para evitar frações, usamos a matriz numeradora \[A=\begin{bmatrix} -19 & -40 & -8 \\\\ 8 & 5 & -44 \\\\ 40 & -20 & 5 \end{bmatrix},
e resolvemos (A-45I)v=0. Calculando A-45I,
A-45I=\begin{bmatrix} -64 & -40 & -8 \\\\ 8 & -40 & -44 \\\\ 40 & -20 & -40 \end{bmatrix}.
Resolvendo o sistema (dividindo por 4 para simplificar) obtemos o sistema equivalente
\begin{cases} -16x-10y-2z=0,\\[2pt] 2x-10y-11z=0,\\[2pt] 10x-5y-10z=0. \end{cases}
Da terceira equação segue y=2x-2z\]. Substituindo na segunda dá \(-18x+9z=0, logo z=2x. Assim y=-2x. Tomando x=1 encontramos um eixo (vetor próprio) proporcional a
v=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\\[2pt]2\end{pmatrix}.
Confere: R v=v (verificação consistente).]

Passo 6

Escolher uma direção ortogonal ao eixo, por exemplo
w=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix},
pois v\cdot w=1\cdot 0 + (-2)\cdot 1 + 2\cdot 1=0. Assim w está no plano ortogonal ao eixo.]

Passo 7

Calcular Rw para ver quanto w é rotacionado. Primeiro computamos A w (lembre R=(1/45)A):
A w=\begin{pmatrix} -19\cdot 0 + -40\cdot 1 + -8\cdot 1\\[2pt] 8\cdot 0 + 5\cdot 1 + -44\cdot 1\\[2pt] 40\cdot 0 + -20\cdot 1 + 5\cdot 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-48\\[2pt]-39\\[2pt]-15\end{pmatrix}.
Logo
R w=\frac{1}{45}\begin{pmatrix}-48\\[2pt]-39\\[2pt]-15\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{48}{45}\\[2pt]-\tfrac{39}{45}\\[2pt]-\tfrac{15}{45}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Calcular o cosseno do ângulo entre w e Rw. A definição do cosseno entre vetores é
\cos\theta=\frac{w\cdot Rw}{\|w\|\|Rw\|}.
Como R é rotação, \|Rw\|=\|w\|, então
\cos\theta=\frac{w\cdot Rw}{\|w\|^{2}}.
Aqui w\cdot Rw = 1\cdot\bigl(-\tfrac{39}{45}\bigr)+1\cdot\bigl(-\tfrac{15}{45}\bigr)=-\tfrac{54}{45}=-\tfrac{6}{5}. E \|w\|^{2}=0^{2}+1^{2}+1^{2}=2. Assim
\cos\theta=\frac{-\tfrac{6}{5}}{2}=-\frac{3}{5},
o que confirma o resultado do cálculo via traça.

Passo 9

Resumo e conclusão: pelo método da traça obtemos \cos\theta=-\tfrac{3}{5}, e a verificação por eixo + vetor ortogonal (como sugerido na dica) confirma esse valor.

Resposta

(A) -\dfrac{3}{5}

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